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TECNOCIENCIA CHIHUAHUA, Vol. XIX (2025): enero-diciembre, e1918
https://revistascientificas.uach.mx/index.php/tecnociencia
ISSN-e: 2683-3360
Artículo Científico
Sintonización y evaluación de observadores lineales
proporcionales Luenberger mediante asignación de
polos para la cristalización por lotes
Tuning and evaluation of proportional linear Luenberger observers
by pole placement for batch crystallization
*Correspondencia: jesuscarrillo18@yahoo.com (Jesús Carrillo Ahumada)
DOI: https://doi.org/10.54167/tch.v19i2.1918
Recibido: 29 de abril de 2025; Aceptado: Fecha de aceptación 23 de junio de 2025
Publicado por la Universidad Autónoma de Chihuahua, a través de la Dirección de Investigación y Posgrado.
Editor de Sección: Dra. Luz Araceli Ochoa Martínez
Resumen
La cristalización es una operación unitaria ampliamente utilizada en diversos sectores industriales,
como en la obtención de productos farmacéuticos, alimentarios y químicos finos, donde se requiere
alta pureza y control del tamaño de partícula. Aunque ofrece ventajas operativas significativas,
también presenta desafíos en el monitoreo de variables. El monitoreo en línea de la cristalización
suele requerir instrumentación costosa y técnicamente compleja. Una alternativa viable es el uso de
observadores lineales proporcionales Luenberger (OLPLs), herramientas basadas en software
derivadas de modelos matemáticos que representan el proceso. Este estudio tuvo como objetivo
diseñar observadores lineales proporcionales Luenberger (OLPLs) mediante una metodología de
asignación de polos. El sistema propuesto se basó en el modelo de Mesbah et al. (2011) para la
cristalización de sulfato de amonio y agua. A diferencia de los observadores mostrados por Mesbah
et al., (2011), el presente estudio muestra como un OLPLs correctamente sintonizado, puede estimar
con precisión todos los estados cuando son medibles. Como resultado, se obtuvo un conjunto de
OLPLs, y se seleccionó el de mejor desempeño con base en métricas de rendimiento específicas,
Maximiliano López-Morales1, María de Jesús García-Gómez4, Cirilo Nolasco-Hipólito4, Raúl
Colorado-Peralta4, Oscar Núñez-Gaona4, Alfonso Flores-Meza3, Jesús Carrillo-Ahumada4*
1 Centro de Investigaciones Científicas, Instituto de Biotecnología, Universidad del Papaloapan, Circuito
Central 200 Parque Industrial, San Juan Bautista Tuxtepec, Oaxaca, México.
2 Facultad de Ciencias Químicas, Universidad Veracruzana, Prolongación de Oriente 6, No. 1009, C.P.
94340, Orizaba, Veracruz, México.
3 Universidad del Istmo, Campus Tehuantepec. Ciudad Universitaria S/N, Barrio Santa Cruz, 4ª. Sección,
Santo Domingo Tehuantepec, Oaxaca, México, C.P. 70760.
4 Universidad del Papaloapan, Circuito Central 200, colonia Parque Industrial, Tuxtepec, Oax. 68301,
México.
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obteniendo resultados satisfactorios. Este trabajo contribuye al desarrollo de alternativas eficientes
y de bajo costo para el monitoreo de la cristalización en aplicaciones industriales.
Palabras clave: procesos industriales, ingeniería de procesos, observadores de estado, simulación.
Abstract
Crystallization is a widely used unit operation in various industrial sectors, such as in the production
of pharmaceutical, food, and fine chemical products, where high purity and precise particle size
control are required. While it offers significant operational advantages, it also presents challenges in
variable monitoring. Online crystallization monitoring often requires expensive and technically
complex instrumentation. A viable alternative is the use of proportional linear Luenberger observers
(PLLOs), which are software-based tools derived from mathematical models representing the
process. This study aimed to design proportional linear Luenberger observers (PLLOs) using a pole
placement methodology. The proposed system was based on the model by Mesbah et al. (2011) for
ammonium sulfate and water crystallization. Unlike the observers presented by Mesbah et al. (2011),
the present study demonstrates how a properly tuned proportional Luenberger observer (PLLOs)
can accurately estimate all states when they are measurable. As a result, a set of PLLOs was obtained,
and the best-performing one was selected based on specific performance metrics, demonstrating
satisfactory results. This work contributes to the development of cost-effective and reliable
alternatives for crystallization monitoring in industrial applications.
Keywords: industrial processes, process engineering, state observer, simulation.
1. Introducción
La cristalización es una operación unitaria utilizada para la separación de un soluto presente
en una mezcla mediante la formación de partículas (cristales), obteniendo así un producto con un
alto nivel de pureza. Se realiza a partir de una solución sobresaturada, y en muchos casos se emplean
métodos adicionales como evaporación, enfriamiento, adición de solventes o precipitantes para
inducir la nucleación y el crecimiento de los cristales (Nagy y Braatz, 2012). La cristalización juega
un papel clave en la separación y purificación de sustancias en procesos industriales, ya sea en etapas
intermedias o finales (Lewiner et al., 2002).
Este proceso tiene múltiples aplicaciones en la industria:
Industria farmacéutica: Obtención de paracetamol (Lima et al., 2024; Kalakech et al., 2025),
L-alanina (Albert et al., 2024) y naproxeno (Barzegar-Jalali et al., 2024).
Industria alimentaria: Producción de ácido succínico (Hutagaol et al., 2025), lactosa (Wen
et al., 2025), cristalización de soluciones de caña de azúcar (Sánchez-Sánchez et al., 2020;
Morales et al., 2024; Karimidatsjerd et al., 2025) y cristalización de azúcar de remolacha
(Piri et al., 2024).
Industria agropecuaria: Producción de fertilizantes como el ácido glutámico (Sun et al.,
2024; Song et al., 2025) y obtención del ácido amino-benzoico (Hussain et al., 2024).
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Industria química: Obtención de sulfato de potasio (K2SO4) y nitrato de potasio (KNO₃)
(Kim et al., 2023; Xu et al., 2024).
En los procesos de cristalización y en otros procesos particulados, la distribución del tamaño de
partícula (DTC) influye directamente en la calidad del producto final. Actualmente, el monitoreo en
línea de la cristalización requiere instrumentación costosa y representa un reto para los ingenieros de
proceso. Una alternativa viable para el monitoreo de la cristalización son los observadores de estado,
herramientas basadas en software diseñadas a partir de modelos matemáticos que representan el
proceso. Aunque existen metodologías para la estimación de parámetros en cristalizadores con ruido
blanco, como el filtro de Kalman (Liu et al., 2022), en este trabajo se utiliza el observador Luenberger
con el objetivo de establecer una metodología de sintonización. La motivación de este estudio es
desarrollar una metodología para la sintonización de observadores Luenberger mediante la
asignación estructurada de ganancias. Se propone la sintonización de observadores lineales
proporcionales Luenberger (OLPLs) mediante una metodología de colocación de polos para la
estimación de parámetros no medibles directamente en la cristalización de sulfato de amonio y agua.
Se partió de un modelo no lineal propuesto por Mesbah et al. (2011), que fue posteriormente
linealizado para facilitar su estudio. Se utilizó la fórmula de Ackermann para la sintonización de
observadores y se diseñaron observadores considerando la minimización del error de convergencia.
Finalmente, se evaluó el desempeño del sistema-observador mediante métricas específicas. El
documento está organizado de la siguiente manera: La Sección 2 está dividida en dos partes. La
primera describe las generalidades de los observadores de estado, con un enfoque específico en los
observadores de Luenberger con estructura proporcional, su sintonización, métricas de evaluación y
aplicación en cristalización. La segunda parte detalla el sistema de estudio propuesto por Mesbah et
al. (2011). La Sección 3 presenta la metodología utilizada para la sintonización y evaluación de los
observadores. En la Sección 4 se exponen los resultados obtenidos, incluyendo la linealización del
sistema no lineal, la generalización del conjunto de observadores proporcionales (OP), la simulación
y la evaluación del caso de estudio-observador. Finalmente, se presentan las conclusiones del estudio.
2. Materiales y métodos
2.1 Materiales
2.1.1 Observadores de estado
El concepto de observabilidad es fundamental en diversas áreas de la cristalización, como el
control automático (Chiu y Christofides, 1999 (a, b); El-Farra et al., 2004; Montes et al., 2021) y la
estimación de parámetros (Brivadis et al., (2020, 2021)). Para sistemas lineales determinísticos, uno
de los observadores más utilizados es el observador tipo Luenberger, debido a su simplicidad
estructural, bajo costo computacional y su capacidad para reconstruir con precisión las variables de
estado. Este tipo de observador se diseña de modo que el error de estimación entre el sistema real y
el sistema estimado, definido como:
Ec. (1)
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converja a cero en forma asintótica bajo ciertas condiciones de diseño. Esta propiedad garantiza un
comportamiento estable y preciso, incluso ante incertidumbres iniciales. Su bajo requerimiento
computacional lo hace ideal para implementaciones en tiempo real, especialmente en entornos
industriales con recursos limitados.
2.1.2 Observadores Luenberger
El diseño de este tipo de observadores está basado en el conocimiento completo del modelo
dinámico del sistema, y puede implementarse tanto en forma de orden completo como de orden
reducido. Existen diferentes configuraciones estructurales, siendo las más comunes los observadores
proporcionales (P), proporcionales-integrales (PI) entre otros. En este trabajo de investigación se
utilizan los observadores proporcionales (OP) debido a su estructura sencilla, fácil implementación
y buena capacidad de estimación en sistemas linealizados, características que los hacen especialmente
adecuados para aplicaciones industriales con restricciones computacionales.
2.1.3 Observadores Proporcionales (OP)
Se puede considerar un sistema linealizado de la siguiente forma:
Ec. (2)
Ec. (3)
donde es el vector de variables de estado, es el vector de variables de entrada,
es el vector de salidas medidas que pueden ser tomadas para realizar observación y y son
matrices constantes que definen la dinámica lineal del sistema. Por otro lado, la expresión del
observador es la siguiente:
Ec. (4)
Donde
es el vector de estado estimado y es la matriz de ganancias
proporcionales. La ecuación del error es:
Ec. (5)
esta expresión (Ec. 5) muestra que la estabilidad del error depende de la colocación de los valores
propios de la matriz . Por lo tanto, la selección adecuada de permite garantizar la
convergencia del error a cero en el tiempo, y por lo tanto su estabilidad, lo cual es fundamental para
la confiabilidad del observador. Algunas metodologías para determinar se basan en la ecuación
de Riccati (Farza et al., 2011), en el polinomio de Butterworth y en la fórmula de Ackermann para la
colocación de polos (Di Ruscio, 2009).
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2.1.4 Sintonización de observadores mediante colocación de polos
Los polos del sistema en lazo cerrado se pueden colocar en cualquier ubicación deseada (bajo
ciertas restricciones) mediante retroalimentación de estado a través de una matriz de ganancia de
retroalimentación de estado apropiada. La colocación de polos se ha utilizado en el diseño de
observadores de estado para diversas aplicaciones, como el diagnóstico de fallas en reactores CSTR
(Kamatchi et al., 2021), el diseño de observadores adaptativos (Kojabadi y Chang, 2005; Volpato y
Vieira 2020) y la mejora de la respuesta de salida de los sistemas.
2.1.5 Métricas de estabilidad, desempeño y sintonización
Un sistema-observador es estable si todas las partes reales de los valores propios () de la
matriz son negativas. Por lo tanto:
Ec. (6)
Ec. (7)
Ec. (8)
Ec. (9)
Para realizar la evaluación de OP, se utiliza una métrica de convergencia para cada estado estimado
y el estado original correspondiente:
Ec. (10)
Para la generación del conjunto y elección del observador a utilizar, se tienen los siguientes pasos:
Se normalizan entre 0 y 1 todos los valores de la métrica de (Ec. 10) y de (Ec. 8) del conjunto
de observadores obtenidos.
a) Posteriormente, se utiliza la siguiente suma de índices:
Ec. (11)
Proporcionando la misma ponderación para todos los indices.
b) Para la elección del observador, se utiliza al observador que tenga el mínimo valor de (Ec. 11).
c) Para la evaluación del OP en el sistema no lineal se utiliza el error cuadrático medio normalizado:
Ec. (12)
Donde
son los estados estimados, son los estados del sistema, el índice es el -ésimo punto de
datos y representa el número de datos utilizados para el cálculo.
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2.1.6 Observadores aplicados a la cristalización
Algunos trabajos de investigación que han estimado parámetros utilizando observadores
para la cristalización son: estimación de masa de cristales (Damour et al., 2010 (a, b)), concentración
de soluto (Brivadis et al., 2020), Distribución del Tamaño de Cristal (DTC) (Brivadis et al., 2020;
Brivadis y Sacchelli, 2021; Kamatchi Kannan et al., 2021), tamaño medio de los cristales (Farza et al.,
2011; Afsi et al. 2020), y control mediante el uso de observadores (Rigatos et al., 2020).
2.1.7 Sistema de estudio: Cristalizador propuesto por Mesbah et al. (2011)
Las características que debe poseer un modelo matemático para la operación unitaria de la
cristalización según Rawlings et al., 1993 son: balance de población, balance de materia y energía y
relaciones constitutivas (crecimiento y nucleación). De manera general el balance de población se
puede describir como:
Ec. (13)
Con la condición límite
, donde es el tiempo, es la densidad de población, es el
volumen, es la velocidad de crecimiento, es la longitud de cristal, es la delta de Dirac
actuando en , y es la velocidad de flujo volumétrico y la función de DTC de la -ésima
corriente, respectivamente. La Ec. (13) puede ser resuelta por medio de la metodología del elemento
finito, o bien mediante la técnica de momentos. La técnica de momentos ha permitido obtener la
solución de la Ec. (13) en un número menor de ecuaciones diferenciales que las técnicas de
discretización. La técnica de momentos ha tenido la siguiente generalización:
Cristalización por lotes a vacío con variación de volumen (Carrillo-Ahumada, 2006):
,
para todo .
Cristalización por lotes sin variación de volumen (Nagy et al., 2008; Sanzida y Nagy, 2013):
,
para todo donde es el tamaño de cristales.
Cristalización por lotes y operación isotérmica (Zhang y Rohani, 2003):
,
Cristalización por lotes considerando volumen (Mesbah et al., 2011):
,
Ec. (14)
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El modelo descrito por Mesbah et al. (2011) representa a la DTC () y a la concentración de soluto ()
en forma de ecuaciones diferenciales. Las expresiones matemáticas empíricas para la velocidad de
nucleación total y la velocidad de crecimiento de cristal independiente del tamaño son:
Ec. (15)
Ec. (16)
Cabe mencionar que la fuerza motora para la creación de cristales es la sobresaturación. El conjunto
de ecuaciones descrito en Ec. (14) puede ser rescrito por la técnica de pesos residuales como:
Ec. (17)
Ec. (18)
Ec. (19)
Ec. (20)
Ec. (21)
Las condiciones iniciales son y . Debido a que el proceso se lleva a cabo en una
operación isotérmica del cristalizador mediante evaporación, las ecuaciones de balance de masa y
energía pueden ser simplificadas a expresiones para la concentración de soluto:
Ec. (22)
Con las ecuaciones algebraicas:
Ec. (23)
Ec. (24)
Ec. (25)
Los detalles de los parámetros que describen al modelo son mostrados en la sección Nomenclatura.
2.2 Métodos
En este trabajo de investigación, se considera que todas las salidas son medibles en el proceso
de cristalización. A partir de esta consideración, se implementó un algoritmo iterativo basado en la
asignación progresiva de polos para sintonizar observadores proporcionales tipo Luenberger
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(OLPLs) y evaluar su desempeño. La metodología se compone de los siguientes pasos, los cuales se
describen a continuación:
Algoritmo. Sintonización y evaluación de OLPLs para el proceso de cristalización.
1: Inicio
Se definieron los objetivos y se seleccionó el modelo dinámico del cristalizador.
Posteriormente se programó en MatlabTM, las rutinas numéricas para realizar la linealización del
sistema, la generación del conjunto de observadores, y la evaluación de su desempeño mediante
simulaciones en el dominio del tiempo.
2: Linealizar el modelo no lineal del cristalizador propuesto por Mesbah et al. (2011), Ecs. (17)-(25).
El modelo de Mesbah et al. (2011) fue linealizado, es decir, se aproximó el sistema original a
ecuaciones más simples que lo representan cerca de un punto de operación en específico,
considerando las condiciones iniciales del proceso. Por lo tanto, se obtuvo un sistema en forma
matricial
e lo cual es necesario para el diseño de observadores lineales.
3: Determinar los valores propios de la matriz característica del sistema () (Ec. 8).
Se calcularon los valores propios de la matriz como referencia inicial para diseñar una
familia de observadores con diferentes velocidades de convergencia.
4: Asignar un valor inicial de incremento de los valores propios de la matriz característica ().
Se estableció un rango de incremento desde 0 % hasta 100 % aplicado sobre los valores
propios del sistema. En cada iteración, se generó un nuevo conjunto de polos deseados al multiplicar
los valores originales por un factor de escala , el cual se aumentó progresivamente en tamaño de
paso de 0.05.
5: Mientras.
Los valores propios iniciales los valores propios incrementados al 100 % . Se
implementó una estructura iterativa en la cual los valores propios del sistema se modificaron
progresivamente. En cada iteración, se generó un nuevo conjunto de polos incrementando los valores
propios originales por un factor de escala , lo que permitió explorar como distintas colocaciones de
polos afectan la dinámica del observador. El proceso se repitió hasta alcanzar un incremento máximo
del 100%.
6: Incrementar
En cada iteración del algoritmo, el valor del factor se incrementó con un tamaño de paso de
0.05. Este tamaño de paso aseguró una cobertura del espacio de los polos posibles, manteniendo el
control sobre la velocidad de convergencia del error de estimación.
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7: Fin-mientras.
El bucle de iteración se detuvo una vez que el incremento alcanzó el valor máximo
establecido (100 %). Con ello se generó un conjunto completo de observadores proporcionales con
polos ubicados en diferentes espacios.
8: Evaluar el desempeño del conjunto de OP (Ec. 10) en el dominio del tiempo con un intervalo de 0
a 1000 s.
Cada observador fue evaluado mediante simulaciones en el dominio del tiempo. Se utilizó
una métrica definida en la Ec. (10) para calcular el error de convergencia entre los estados reales y los
estimados por cada observador.
9: Seleccionar el observador, considerando el mínimo valor de la Ec. (11).
Para cada observador, se calculó el índice de desempeño (Ec. 11) que combina el error de
estimación y la magnitud del desplazamiento aplicado. Se seleccionó el observador que presentó el
menor valor de , considerándolo como el óptimo para el sistema-observador.
10: Fin.
Con el observador óptimo identificado, el procedimiento concluyó. Este observador fue
posteriormente aplicado y evaluado dentro del modelo no lineal del cristalizador para validar su
desempeño y robustez.
3. Resultados y discusión
3.1 Caso de estudio
Para la aplicación del OLPL en el sistema propuesto por Mesbah et al., (2011) se considera el
siguiente caso de estudio. En el modelo no lineal, Ecs. (17)-(22) y sus ecuaciones complementarias
(Ecs. (23)-(25)), el estado seis (concentración de soluto, ) se encuentra disponible para una medición
directa. Aunque no forma parte del vector de estados estimados por el observador, su disponibilidad
permite incorporarla en el proceso de linealización del modelo para definir adecuadamente las
matrices dinámicas del sistema.
3.2 Linealización del modelo no lineal
Se considera que el modelo descrito por las Ecs. (17)-(25) pueden ser generalizado por Ecs.
(2)-(3). Donde son las variables de estado, es la entrada al sistema.
Considerando para la linealización, los siguientes valores en estado estacionario: Los valores iniciales
de los momentos de la DTC se consideraron como , ya que en las
etapas iniciales del proceso estos momentos suelen presentar valores muy pequeños. Por otro lado,
, se seleccionaron considerando que se encuentran dentro de los rangos operativos
utilizados por Mesbah et al., (2011).
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Cabe destacar que, si bien la concentración de soluto no forma parte del vector de estados
estimados por el observador, se utilizó durante el proceso de linealización para definir
adecuadamente la estructura de las matrices dinámicas , y . En particular, aunque la
concentración de soluto no es una entrada al sistema, interviene de manera funcional en la
construcción de la dinámica del modelo y, por tanto, en el cálculo de las ganancias del observador.
Esta consideración permite preservar la coherencia entre el modelo linealizado y el comportamiento
del sistema no lineal original. Por lo tanto, las matrices en espacio de estado son definidas como:
Ec. (26)
donde , , , ,
, , , , ,
; con los valores de las matrices (Ec. 26) es posible obtener el conjunto de
OLPLs.
3.3 Generación del conjunto de OP
Después de aplicar la metodología descrita anteriormente, se generó un conjunto de OLPLs,
en los cuales cada observador comparte la misma estructura: Una matriz de ganancias de tipo
diagonal ( para ). Para cada incremento, aplicado a los valores propios del
sistema, se construyó un nuevo observador y se evaluó su desempeño mediante simulaciones en el
dominio del tiempo. Estas simulaciones se resolvieron utilizando el método de Runge-Kutta 4to
orden, con las condiciones iniciales del sistema: y . El
desempeño de cada observador se evaluó utilizando el índice definido en la Ec. (11), y se
registraron los valores correspondientes a la diagonal de y los incrementos aplicados sobre los
valores propios. Estos resultados son mostrados en la Fig. (1).
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Figura. 1. Respuesta del sistema ante diferentes incrementos porcentuales. La subfigura (A) muestra la evolución
de la sumatoria de índices , mientras que (B) presenta la respuesta de la diagonal de la matriz de ganancias
proporcionales ).
Figure. 1. System response to different percentage increments. Subfigure (A) shows the evolution of the
summation of indices W, while (B) presents the response of the proportional gain matrix diagonal ).
Como se observa en la Fig. 1, conforme se incrementa los valores propios de la matriz característica,
el valor de disminuye, aunque con un incremento del 100 % el valor de este índice tiende al peor
desempeño del sistema-observador. Por otro lado, el valor de la diagonal de se incrementa. Por
lo tanto, conforme a la elección del observador se propone el que presenta un valor de ,
y un incremento de 95 %.
Este resultado confirma que, a diferencia de estrategias con observadores no estructurados como los
utilizados por Mesbah et al. (2011), un OLPL adecuadamente sintonizado puede mantener
estabilidad incluso ante incrementos agresivos en los polos. Además, la estabilidad obtenida en este
punto sugiere que la selección automática basada en el índice W es una alternativa eficiente frente a
métodos empíricos tradicionalmente empleados en el diseño de observadores.
3.4 Simulación y evaluación del sistema no lineal-observador
Para validar la estimación del conjunto de OLPLs, se realizaron diferentes simulaciones
numéricas en dominio del tiempo () del sistema no lineal (Ecs. (17)-(22)) con las
condiciones iniciales originales ( ) con el siguiente conjunto de
condiciones iniciales para el observador:
CI1:
CI2: (se eligieron en base
el valor máximo del sistema en lazo abierto).
Las ecuaciones que describen al observador con el sistema no lineal son las siguientes:
Ec. (27)
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Ec. (28)
Ec. (29)
Ec. (30)
Ec. (31)
La respuesta por simulación de las ecuaciones del observador (Ecs. (27)-(32)) en dominio del tiempo
es mostrado en las Figs (2)-(3). Como se observa en las Figs. (2)-(3), la simulación se realizó en
dominio del tiempo s. La convergencia entre los estados originales y los seis estados
estimados independientemente de la condición inicial (CI1 o CI2) se alcanza en un valor
del tiempo menor de 1 segundo. Para evaluar el desempeño se utiliza la Ec. (12) para cada estado
original y su respectivo estado estimado considerando CI1 y CI2 (Tabla I). Este tipo de respuesta
rápida en estimación, independientemente de la condición inicial, es deseable en aplicaciones
industriales donde se requiere reacción inmediata ante fluctuaciones del proceso. Resultados
similares en robustez ante condiciones iniciales han sido reportados en controladores adaptativos
como se observa en Kamatchi et al. (2021) y Carrillo-Ahumada (2006) ambos trabajos para aplicados
a cristalización.
Tabla 1. Evaluación de la convergencia del estado original y el estado estimado.
Table 1. Evaluation of the convergence of the original state and the estimated state.
CI
ECMN1
ECMN2
ECMN3
ECMN4
ECMN5
1
0
0
0
0
0
2
176.36
0.1039
En la Tabla I se verifica de nuevo la convergencia que tienen todos los estados estimados hacia el
estado original debido a que los valores mostrados en esta tabla son las condiciones iniciales que se
utilizaron (CI1 o CI2). Por lo que se considera que este observador presenta un buen desempeño y
robustez.
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Figura. 2. Estimación de los momentos de la distribución de tamaño de cristal (DTC) bajo el conjunto de
condiciones iniciales 1 (CI1). Las subfiguras muestran los resultados correspondientes al (A) momento cero, (B)
momento uno, (C) momento dos, (D) momento tres y (E) momento cuatro.
Figure. 2. Estimation of the moments of the crystal size distribution (CSD) under initial condition set 1 (CI1).
Subfigures show the results for the (A) zeroth moment, (B) first moment, (C) second moment, (D) third moment,
and (E) fourth moment.
Figura. 3. Estimación de los momentos de la distribución de tamaño de cristal (DTC) bajo el conjunto de
condiciones iniciales 2 (CI2). Las subfiguras muestran los resultados correspondientes al (A) momento cero, (B)
momento uno, (C) momento dos, (D) momento tres y (E) momento cuatro.
Figure. 3. Estimation of the moments of the crystal size distribution (CSD) under initial condition set 2 (CI2).
Subfigures show the results for the (A) zeroth moment, (B) first moment, (C) second moment, (D) third moment,
and (E) fourth moment.
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Además de las ecuaciones descritas por Mesbah et al., (2011), se puede utilizar el momento hipotético
cinco con condición incial , descrito continuación:
Ec. (32)
La desviación estándar y el diámetro promedio del cristal se calculan con las Ec. 32 y Ec. 33 (Hicks y
Chope, 1999):
Ec. (33)
Ec. (34)
estos parámetros son mostrados en la Fig (4). Aunque el presente trabajo se basa en el modelo
dinámico propuesto por Mesbah et al. (2011) para la cristalización por lotes, no es posible realizar
una comparación cuantitativa directa entre ambos estudios debido a que se emplean enfoques
diferentes tanto en la estimación de estados como en la estructura de los observadores. Además, en
el presente estudio se utilizan observadores lineales, los cuales son más sencillos de implementar en
entornos industriales reales, donde los recursos de cómputo o el diseño de tiempo son limitados.
Figura. 4. Respuesta del sistema no lineal. Las subfiguras muestran: (A) el momento cinco, (B) el diámetro
promedio de la DTC , (C) la desviación estándar , (D) la concentración del soluto, (E) la velocidad
de crecimiento y (F) la velocidad de nucleación.
Figure. 4. Response of the nonlinear system. Subfigures show: (A) the fifth moment, (B) the average diameter of
the CSD , (C) the standard deviation , (D) the solute concentration, (E) the growth rate, and (F) the
nucleation rate.
Con lo que se observa que en s el valor y presentan un comportamiento decreciente
(Fig. 4D y 4E), por otro lado, alcanza un punto máximo en s (Fig. 4F).
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4. Conclusiones
Mediante la metodología propuesta en este trabajo de investigación es posible sintonizar
observadores de estado proporcionales Luenberger a partir de la linealización de un modelo
dinámico del proceso de cristalización por lotes. Los resultados obtenidos muestran se puede elegir
un observador de un conjunto, con estabilidad y buen desempeño para el sistema en lazo cerrado.
El enfoque desarrollado, aunque aplicado específicamente al proceso de cristalización de sulfato de
amonio en solución acuosa, puede extenderse a otras operaciones unitarias en las que existan
modelos matemáticos confiables, pero con limitaciones en la medición directa tales como
fermentación, secado, entre otros. En conjunto, los resultados numéricos muestran no solo la
viabilidad del diseño propuesto, sino su adaptabilidad ante condiciones variadas. La incorporación
del momento cinco y los cálculos de la DTC agregan un análisis útil para aplicaciones reales, y
refuerzan lo reportado por la comunidad de control de procesos sobre la importancia de controlar la
distribución del tamaño de cristal en sistemas de cristalización. Como trabajo futuro, es posible
utilizar OLPLs para utilizarlos junto con leyes de control en sistemas estables y también para
inestables.
Nomenclatura
Velocidad de nucleación total )
Concentración de soluto
Concentración de saturación, soluto/ solución
Velocidad de crecimiento del cristal ()
Exponente de la velocidad de crecimiento de cristal específico del sistema, adim
Calor específico del cristal, KJ
Calor específico de la solución, 6 KJ
Calor latente de disolución, KJ
Constante de velocidad de nucleación,
Constante de la velocidad de crecimiento de cristal,
Factor de volumen adimensional,
Momentos de DTC,
Momento cero, número total de cristales
Momento uno, longitud de cristales
Momento dos, área superficial de cristales
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Momento tres, volumen total de cristales
Momento cuatro, momento hipotético para calcular la media del tamaño de cristal
Momento cinco, momento hipotético para obtener la desviación estándar y diámetro
promedio del cristal
Velocidad de flujo de eliminación de productos no clasificados,
Tiempo, s
Volumen del cristalizador,
Densidad del cristal,
Densidad de la solución,
Contribuciones de los autores
MLM contribuyó con la metodología y experimentos computacionales; AFM y JCA
realizaron la supervisión técnica y académica; RCP realizó validación experimental; MJGG, ONG,
CNH y JCA contribuyeron con la estructuración del artículo.
Agradecimientos
El autor de correspondencia agradece a la Universidad el Papaloapan por el proyecto
aprobado 01B-05-24-I “Análisis de cluster de diferentes reglas de sintonización de controladores PI
con aplicaciones a biorreactores”.
Conflicto de interés
Todos los autores declaran que no tienen ningún conflicto de intereses en la publicación del
artículo de investigación.
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