1
1
TECNOCIENCIA CHIHUAHUA, Vol. XV (3) e 844 (2021)
https://vocero.uach.mx/index.php/tecnociencia
ISSN-e: 2683-3360
Artículo de Investigación
Productividad y función de producción de ingeniería
para la producción de Glucosiltransferasa por
fermentación
Productivity and Engineering Production Function for Production of
Glucosyltransferase by Fermentation
*Correspondencia: marco.pl@mochis.tecnm.mx (Marco Antonio Paredes-Lizárraga)
DOI: https://doi.org/10.54167/tecnociencia.v15i3.844
Recibido: 30 de agosto de 2021; Aceptado: 30 de noviembre de 2021
Publicado por la Universidad Autónoma de Chihuahua, a través de la Dirección de Investigación y Posgrado.
Resumen
Se presenta un modelo de función de producción de ingeniería para modelar la producción de
glucosiltransferesa por fermentación, con el objetivo de determinar la máxima producción, máxima
productividad y elasticidad unitaria. A los datos del primer DOE publicados por Kawaguti et al.
(2005) se les aplicó el método de regresión estadística restringida (con R2 = 0.981, P≤0.001) y
optimización restringida en el software Excel® Solver®. Para fermentar, se utilizó melaza de caña
(X1 gL-1), licor de maíz (X2 gL-1) y levadura (X3 gL-1) Erwinia Sp. en cantidades identificadas por el
vector de insumos X = (X1, X2, X3). Para cada combinación óptima seleccionada, los pronósticos para
producción de glucosiltransferasa, costo por experimento y productividad son: producción óptima
en (129.39, 72.897, 16.77) con 5.78 UmL-1, $0.74 y 7.75 UmL-1$-1 respectivamente; para productividad
máxima en (118.39, 42,14, 4) con 4.56, $0.31 y 14.48; para productividad óptima (elasticidad unitaria
y rendimientos constantes) en (102.44, 36.48, 3.46) con 4.01, $0.27 y 14.73. Los rendimientos de escala
y elasticidad inducen a explorar el vector (102.56, 36.52, 3.47) como centro del próximo diseño
experimental secuencial, tal que en este diseño se logre una mejor aproximación a los rendimientos
constantes y una productividad óptima global.
Palabras clave: función de producción, regresión restringida paso a paso, Excel® Solver®,
elasticidad de la producción, productividad
Marco Antonio Paredes-Lizárraga1 *
1 Tecnológico Nacional de México / I. T. Los Mochis. Juan de Dios Bátiz y 20 de Noviembre. Los Mochis,
Sinaloa, México.
2
Marco Antonio Paredes-Lizárraga
TECNOCIENCIA CHIHUAHUA, Vol. XV (3) e 844 (2021)
Abstract
An engineering production function model is presented to model the production of
glycosyltransferase by fermentation, to determine the maximum production, maximum productivity
and unit elasticity. To the data of the first DOE published by Kawaguti et al. (2005), the restricted
statistical regression method (with R2 = 0.981, P = 001) and restricted optimization were applied in
the Excel® Solver® software. To ferment, cane molasses (X1 gL-1), corn liquor (X2 gL-1) and yeast (X3
gL-1) Erwinia Sp. were used. In quantities identified by the input vector X = (X1, X2, X3). For each
selected optimal combination, the forecasts for glucosyltransferase production, cost per experiment
and productivity are: optimal production at (129.39, 72.897, 16.77) with 5.78 UmL-1, $0.74 and 7.75
UmL-1$-1 respectively; for maximum productivity in (118.39, 42,14, 4) with 4.56, $0.31 and 14.48; for
optimal productivity (unit elasticity and constant returns) at (102.44, 36.48, 3.46) with 4.01, $0.27 and
14.73 respectively. The returns to scale and elasticity lead us to explore the vector (102.56, 36.52, 3.47)
as the center of the next sequential experimental design, such that this design achieves a better
approximation to constant yields and global optimal productivity.
Keywords: production function, stepwise restricted nonlinear regression, Excel® Solver®,
production elasticity, productivity.
1.Introducción
La importancia de la función de producción (FDP) radica en la determinación de las
combinaciones óptimas de insumos que hacen más eficiente (en términos económicos, técnicos y de
escala) la obtención de la producción en las empresas. En términos económicos, los economistas
buscan la obtención del menor costo de producción; en términos técnicos, los ingenieros buscan la
máxima producción del proceso y en términos de escala, los planificadores buscan el tamaño de
empresa que logra los rendimientos constantes de escala. La primera (FDP) de uso común es la Cobb-
Douglas (CD) publicada en 1928. Humphrey (1997) reporta que Lord Kelvin publicó una función de
producción de ingeniería (FDPI) en 1882 e indica también que las funciones de producción algebráica
son anteriores a Cobb-Douglas, ya que al menos 18 economistas de siete países en un lapso de 160
años presentaron o describieron tales funciones antes de Cobb-Douglas. Desde esta perspectiva, la
función CD y sus sucesores más recientes representan la culminación de una larga tradición en lugar
del comienzo de una nueva.
Chenery (1949) reporta que la FDPI describe cada entrada en términos de una o más de sus
propiedades, que pueden variar independientemente dentro de cierto límite, usando relaciones de
ingeniería descritas por fórmulas basadas en las leyes de la física y química, relacionadas con la
naturaleza de la sustancia química o transformaciones físicas que están involucradas en el proceso
productivo y que el caso más simple para la construcción de una función de producción sería una en
la que la mano de obra puede tratarse como un factor conjunto con algún otro insumo, en el que la
ciencia de la ingeniería está bien desarrollada y en el que las características técnicas de uno o unos
pocos procesos principales son un factor determinante en la estructura de costos de la planta o
empresa. Las industrias que parecen acercarse más a este ideal son las de procesos químicos, el
refinamiento de materias primas y otras con técnicas estandarizadas y automatizada.
Las FDPI en el acervo científico son escasas debido a las relaciones cuantitativas de ingeniería y
economía que deben involucrar para maximizar los beneficios de las empresas, analizando
3
Marco Antonio Paredes-Lizárraga
simultáneamente cantidades de producción y costos de producción. En una investigación
documental Wibe (1983) lleva a cabo una revisión de información publicada relacionada con
funciones de producción de ingeniería donde la mayor parte de los trabajos reportan propiedades de
sustitución, y en menor proporción se relacionan con propiedades de escala y otras se relacionan con
progreso técnico. Reporta además que el aspecto más interesante de la FDPI es la medición ingenieril
de la sustitución de insumos. Wibe (1983) descarta una larga cantidad de publicaciones relacionadas
con la agricultura argumentando no creer que las elasticidades de sustitución entre vitaminas y
proteínas en la crianza de pollos pueda ser de interés para los economistas.
La ONU (1978) declara que las FDPI son las más cercanas para determinar la sustitución de insumos,
al ser derivadas directamente de las “leyes” que gobiernan los fenómenos físicos y naturales.
Desafortunadamente las FDPI se han desarrollado solo para unos pocos procesos, el enfoque no es
tan prometedor como se pensaba debido a las complicaciones matemáticas al pasar de las relaciones
físicas a las relaciones económicas entre insumos y productos.
Marsden et al. (1974) demuestran que las funciones CD y elasticidad constante de sustitución (CES)
corresponden a las propiedades físicas de reacciones químicas y biológicas generales. A partir de la
estequiometria de reacciones químicas (Levenspiel, 1999; Davis & Davis, 2003; Fogler, 2016) se
reporta que la tasa de cambio de una reacción química se corresponde con aproximación a la tasa de
cambio (Ec. 1).
A A B
r kC C


(Ec. 1)
donde rA es la tasa de cambio, k es constante de proporcionalidad, CA y CB son concentraciones de
reactivos (insumos) A y B respectivamente, α y β son valores proporcionales a las cantidades de
reactivos A y B respectivamente; con orden global de . La tasa se puede expresar utilizando
cualquier medida equivalente de la concentración, como volumen, presión parcial o cantidad de
sustancia. La función CD, por tanto, es una aproximación de FDPI para un proceso químico y
biológico con función matemática monótonamente creciente. En el caso particular del proceso de
fermentación, en el cual el microorganismo se estresa si tiene condiciones extremas para realizar su
función biológica de conversión de reactivos en productos, la función matemática que describe al
proceso es cóncava, inicia creciente y termina decreciente, evidenciando un máximo global.
Al modelo CD se le han hecho modificaciones para adaptarlo a situaciones específicas de la realidad;
Lee et al. (2017) lo generalizan a seis variables para un proceso agrícola de producción de maíz, arroz
y frijol y asumen que el modelo es una FDPI. Gechert et al. (2019) reportan que la elasticidad de
sustitución entre capital y trabajo es un parámetro clave en economía porque mide lo fácil que es
sustituir un factor de producción por otro, modificando la combinación de insumos. La elasticidad
juega un papel fundamental en la teoría del crecimiento económico. A su vez, Barlow and Vodenska
(2020) proponen un modelo CD dinámico de cascada para investigar el riesgo sistémico del sector
industrial y estudiar el efecto de disrupción en la economía por pandemia COVID-19. Paredes-
Lizárraga (2020) aplica el modelo CD a la producción de fenilalanina por fermentación utilizando
regresión paso a paso con acotamiento de superficie de respuesta para mejorar R2.
En este trabajo se presenta una FDPI que satisfaga simultáneamente las condiciones de FDP del
campo de la economía y un máximo global de productividad.
n


4
Marco Antonio Paredes-Lizárraga
TECNOCIENCIA CHIHUAHUA, Vol. XV (3) e 844 (2021)
Para el proceso general de fermentación, se proponen en este artículo las Ecs. (2) descritas con las
formas funcionales siguientes:
0ln( ) h
ai
i i i i
A X C C d X



(Ec. 2a)
()YX
0ln( ) h
ai
i i i i
A X C C d X


(Ec. 2b)
()YX
ln( ) h
ai
i i i
A X d X


(Ec. 2c)
ln( ) h
ai
i i i
A X d X



(Ec. 2d)
donde A es un factor de productividad total de la función CD, son las elasticidades de producción
de la función CD en cada variable con 0≤ ≤1, las di son constantes positivas, las (diXi)>1 y (di-Xi)>1 y
las Ci son irrestrictas en signo y h=0, 1. Si h=0 las Ecs. (2) se corresponden con la función de producción
de Cobb-Douglas.
En este trabajo se establece hipotéticamente que la aplicación del modelo de FDPI descrito en las Ecs.
(2) permite estimar las combinaciones óptimas de insumos que maximizan la producción, la
productividad, la elasticidad de la producción y la escala del experimento. Por tanto, el objetivo de
este trabajo consiste en determinar:
1. La forma funcional de la Ec. (2) con la combinación de insumos que hace máxima la
producción de glucosiltransferasa por fermentación, utilizando regresión paso a paso.
2. La combinación de insumos que hace máxima la productividad del proceso de
glucosiltransferasa por fermentación, utilizando la FDPI estimada en el objetivo anterior.
3. El óptimo global de productividad por aplicación del análisis de rendimientos de escala y
elasticidad de la producción.
2. Materiales y Métodos
Esta investigación es cuantitativa y aplicada, consistió en el remodelado de un diseño
experimental (DE) para determinar la superficie de respuesta utilizando el método estadístico
matemático; también es correlacional o comparativa porque se contrastó el resultado obtenido con
los modelos de FDPI y de segundo orden; es explicativa porque se pronosticaron los resultados ante
cambios en las cantidades de insumos, fundamentados en las tasas de cambio del modelo FDPI.
2.1 Materiales
Los datos para este trabajo se tomaron del estudio publicado por Kawaguti et al. (2005) quienes
realizaron un diseño experimental de tres variables y superficie de respuesta en la producción de
glucosiltranferasa por fermentación. En este estudio, a los datos originales se les aplicó regresión
5
Marco Antonio Paredes-Lizárraga
estadística restringida en el software Excel® Solver® (2016) y programación en macros Excel® para
obtener el modelo de predicción de la función de producción con la forma funcional de las Ecs. (2).
2.2 Procedimientos de tratamiento de datos y ajustes de modelos
Para el ajuste de la FDPI expresada en las Ecs. (2), a los datos del estudio publicado por Kawaguti
et al. (2005) se les aplican los métodos de regresión estadística restringida, regresión paso a paso
(stepwise) y optimización restringida con Excel® Solver®, como se describe en Paredes-Lizárraga
(2020).
2.2.1. Determinación y selección del mejor modelo de regresión
En la Ec. (3) se describe el modelo de programación matemática para obtener los coeficientes del
modelo seleccionado. A partir de los 17 datos originales del DOE se corre el modelo y se determinan
los valores de R2 y MSE resultantes; para mejorar el modelo se elimina uno y solo uno dato del DE,
acotando la superficie de respuesta, y se determinan los nuevos valores de R2 y MSE, el proceso
termina al encontrar el mejor valor de MSE. Para fines explicativos, la deducción de modelos se
ejemplifica con la variante de la Ec.(2d)
2
2
min ln( )
ai
i i i
A X d X Y



(Ec. 3)
Sujeto a 0<ai<1, di-Xi >1, A > 0
Donde μ2 son los errores cuadráticos de la estimación, aleatorios, independientes y normalmente
distribuidos, resto de variables definidas previamente en Ecs. (2).
Los modelos de optimización, al estar sujetos a restricciones, se programan en Excel®
Solver® y macros Solver® para así encontrar la combinación de coeficientes que minimizan los
errores cuadráticos.
2.2.2. Optimización física del modelo
En la Ec. (4), conocidos los coeficientes del modelo de FDPI, se presenta el modelo de optimización
restringida (aplicando Solver®) para encontrar el vector de insumos X= (X1, X2, X3) que permite
obtener la mayor producción teórica, con el modelo
max ln( )
ai
i i i
Y A X d X


(Ec. 4)
Sujeto a Xi min ≤ Xi ≤ Xi max
Donde Xi min es el valor menor del insumo Xi en el DE; Xi max es el valor mayor del insumo Xi en el
DE, resto de variables definidas previamente en Ecs. (2).
2.2.3 Optimización económica del modelo
En la Ec. (5), conocidos los coeficientes del modelo de FDPI, se presenta el modelo de optimización
restringida (aplicando Solver®) para encontrar el vector de insumos X=(X1, X2, X3) que permite
obtener la mayor productividad teórica, con el modelo
6
Marco Antonio Paredes-Lizárraga
TECNOCIENCIA CHIHUAHUA, Vol. XV (3) e 844 (2021)
ln( )
max
ai
i i i
ii
A X d X
PT XP



(Ec. 5)
Sujeto a Xi min ≤ Xi ≤ Xi max
Donde PT es productividad, Pi es el precio unitario del insumo Xi, resto de variables definidas
previamente en Ecs. (2).
2.2.4 Rendimientos de escala, elasticidad de la producción y productividad
Una propiedad importante de la FDP es el rendimiento de escala. El rendimiento de escala determina
la proporción en que cambia la cantidad de producción cuando cambia en cierta proporción la
cantidad de insumos, indicando relaciones de productividad. Los rendimientos constantes implican
un costo marginal constante, mientras que los rendimientos decrecientes implican un costo marginal
que aumenta con cada unidad producida. Como resultado, si los rendimientos a escala disminuyen
de constante a decreciente, el costo marginal de la última unidad excedería el costo promedio de
todas las unidades producidas, reduciendo el margen de beneficio y la productividad; aumentos en
el costo marginal de producción obligan al establecimiento a cobrar un precio más alto. Las
desviaciones de los rendimientos constantes a escala implican que el tamaño del establecimiento
afecta su productividad (Ho et al; 2017). Una industria caracterizada por rendimientos crecientes, una
empresa con una ventaja inicial puede aumentar su producción y disminuir sus costos promedio
mucho más rápidamente que los competidores que recién comienzan la producción (Gilpin & Rusik,
2001). Por este motivo es importante determinar la combinación de insumos que maximiza el
beneficio de la empresa, lo cual implica atender y entender las relaciones económicas de los
rendimientos de escala en los procesos de producción.
La elasticidad de la producción relaciona la tasa de cambio de la producción con la tasa de cambio de
los insumos, indicando relaciones de productividad. Para toda FDP la derivada es positiva y
decreciente, lo cual implica que cuando X es pequeño, la tasa de cambio en Y es más grande que la
tasa de cambio en X, logrando elasticidades, rendimientos crecientes y mejora de la productividad.
Teorema. Sea la función de producción Y(X) transformada tal que al incrementar el vector de
insumos en un escalar lambda (λ) mayor que uno se obtiene Y(λ, X) = RTS(λ, X) Y(X) donde RTS(λ,
X) es la función de rendimientos de escala. La elasticidad de la producción está directamente asociada
a los rendimientos de escala tal que rendimientos crecientes están asociados a elasticidades de
producción y rendimientos decrecientes están asociados con inelasticidades de producción.
( ) ( )
( ) ( )
1
( ) ( )
1
x
RTS Y X Y X
Y X Y X
YRTS
Y X Y X
Y
X X X X X
X X X

(Ec. 6)
Donde εx es la elasticidad de la producción por los insumos, ∆Y/Y es el cambio porcentual en la
producción, ∆X/X es el cambio porcentual (en valor físico o económico) del vector de insumos.
7
Marco Antonio Paredes-Lizárraga
La generalización de este teorema plantea la oportunidad de explorar la aplicación del análisis de
elasticidad a otros modelos, como el de superficie de respuesta aplicada en DOEs.
3. Resultados y discusión
Para este artículo se utilizaron los datos del primer diseño experimental publicado por Kawaguti
et al. (2005), en el cual utilizaron X1 gL-1 de melaza de caña de azúcar (Saccharum officinarum), X2 gL-1
de licor de maíz (Zea mays) fermentado y X3 gL-1 de levadura Erwinia Sp. para producir
glucosiltransferasa por fermentación aplicando regresión polinomial de segundo orden a un diseño
factorial central compuesto de 17 corridas con tres factores (k=3; corridas: 2k +2k+k) con correlación
global (R2=0.8) y Cuadrado Medio del Error (CME=MSE=0.51). Identificando las cantidades de
insumos aplicados en cada corrida utilizando una notación vectorial para el vector de insumos X=
(X1, X2, X3), Kawaguti et al. (2005), en el tercer DOE secuencial, llegan a la combinación óptima (100,
60, 8) con la cual obtuvieron 6,65 U mL-1 de glucosiltransferasa, valorado con el modelo de segundo
orden. A los 17 tratamientos originales del primer diseño experimental, indicados en la tabla 1, se les
aplicó regresión estadística paso a paso bajo los modelos descritos en las Ecs. (2) eliminando un dato
a la vez para mejorar paso a paso el estadístico R2 y MSE de cada modelo.
3.1 Determinación y selección del mejor modelo de regresión
En la tabla 2 se reportan los resultados de las regresiones estadísticas de las cuatro variantes de
modelo. Cada regresión inicia con los 17 datos de la tabla 1 y termina cuando se alcanza el menor
cuadrado del error (CME ó MSE). El modelo de la Ec. (2a) es óptimo con 11 de los 17 datos de la tabla
1; el modelo de la Ec. (2b) es óptimo con 12 de los 17 datos de la tabla 1; el modelo de la Ec. (2c) es
óptimo con 9 de los 17 datos de la tabla 1 y el modelo de la Ec. (2d) es óptimo con 8 de los 17 datos
de la tabla 1.
Comparando los resultados de la tabla 2 se puede observar que las cuatro variantes de FDPI
propuestas tienen mejores indicadores de R2 y MSE que el modelo polinomial de segundo orden
utilizado por Kawaguti et al. (2005).
De las cuatro variantes de FDPI, el mejor modelo de regresión es el descrito en la Ec. (2d) e indicado
en la tabla 2 con MSE = 0.046, con el cual se trabajó el proceso de optimización y todos los apartados
siguientes. Este mejor modelo se corresponde con la Ec. (3).
Los datos seleccionados para la regresión y los resultados de pronóstico con el modelo de la Ec. (2d)
se muestran en la Tabla 3. En la columna 6 se indican los valores pronosticados de glucosltransferasa.
El modelo correlaciona con R2 =0.981 y valor P≤0.001. Los coeficientes se indican en la tabla 4.
8
Marco Antonio Paredes-Lizárraga
TECNOCIENCIA CHIHUAHUA, Vol. XV (3) e 844 (2021)
Tabla 1. Matriz experimental del primer diseño central compuesto utilizado por Kawaguti et al.
Table 1. Experimental matrix of the First composite central design data used by Kawaguti et al.
No. Exp.
Melaza
(gL-1)
(X₁)
Licor
(gL-1)
(X₂)
Levadura
(gL-1)
(X₃)
Glucosil
Transferasa
(U mL-1)
1
70.24
42.14
7.23
3.5
2
129.76
42.14
7.23
4.46
3
70.24
77.86
7.23
3.67
4
129.76
77.86
7.23
5.28
5
70.24
42.14
16.77
3.49
6
129.76
42.14
16.77
5.32
7
70.24
77.86
16.77
3.78
8
129.76
77.86
16.77
0.53
9
50
60
12
3.27
10
150
60
12
1.43
11
100
30
12
4.92
12
100
90
12
3.19
13
100
60
4
5.73
14
100
60
20
5.731
15
100
60
12
4.97
16
100
60
12
5.1
17
100
60
12
5.4
Referencia: (Kawaguti et al.,2005) con permiso del Autor.
Source: (Kawaguti et al.,2005) with Author permission
Tabla 2. Modelos bajo estudio y comparación por MSE
Table 2. Models under study and MSE comparison
Modelo (Ec)
R2
N
SST
SSE
GL
MSE
A ΠXi^ai [Co+∑Ci ln(diXi)]
0.978
11
7.915
0.169
2
0.085
A ΠXi^ai [Co+∑Ci ln(di -Xi)]
0.935
12
10.31
0.663
3
0.221
A ΠXi^ai [Π ln(diXi)]
0.927
9
6.396
0.463
3
0.154
A ΠXi^ai [Π ln(di -Xi)]
0.981
8
4.99
0.092
2
0.046
Comparación de modelos. El modelo polinomial de segundo orden para tres factores requiere de
9 estimadores estadísticos para variables más el término constante y requiere de al menos 10 datos
independientes para el proceso de regresión, mientras que el modelo de FPDI de la Ec. (2d) requiere
de 6 estimadores estadísticos para variables más el término constante y requiere de al menos 7
datos independientes por lo cual ofrece la ventaja de elegir en la regresión a los datos con menores
9
Marco Antonio Paredes-Lizárraga
Tabla 3. Datos seleccionados para la regresión y pronóstico estimado. Y*
Table 3. Selected data for regression and estimated forecast. Y*
No.
Exper.
Melaza
(gL-1)
(X₁)
Licor
(gL-1)
(X₂)
Levadura
(gL-1)
(X₃)
Glucosil
Transferasa
(U mL-1)
Valor
Estimado
(Y*)(U mL-1)
1
70.24
42.14
7.23
3.5
3.354
3
70.24
77.86
7.23
3.67
3.673
4
129.76
77.86
7.23
5.28
5.369
5
70.24
42.14
16.77
3.49
3.6
6
129.76
42.14
16.77
5.32
5.263
7
70.24
77.86
16.77
3.78
3.942
15
100
60
12
4.97
4.952
16
100
60
12
5.1
4.952
Referencia: Cálculos del Autor. R2=0.981 con valor p≤0.001
Source: Author´s calculations. R2=0.981 with p value≤0.001
valores de cuadrados medios del error (acotando la superficie de respuesta del DE) para mejorar la
correlación global del modelo (R2). En términos estadísticos, el modelo FDPI aquí expuesto es mejor
que el modelo polinomial porque tiene mejor valor de R2 (0.981 contra 0.8) y mejor valor de MSE
(0.046 contra 0.51).
3.2 Optimización física del modelo
Una vez conocidos los parámetros de la FDPI, se procede a optimizar los resultados del
proceso de producción de glucosltransferasa, aplicando el modelo de la Ec. (4) y respetando
el rango de variación permitido a cada variable independiente Xi, como se indican en los
renglones 2 y 3 de la tabla 5, a fin de no extrapolar resultados y mantener el proceso dentro
de las fronteras del experimento. En la tabla 5 se muestran los resultados comparativos de
los procesos de optimización física y económica, obtenidos por Solver©.
Tabla 4. Coeficientes de regresión ajustados para el modelo de la Ec. (2d).
Table 4. Adjusted regression´s coefficients for Ec. (2d) model.
Coeficiente
Valor ajustado
Coeficiente
Valor ajustado
A
0.00008
a1
0.999
d1
167.2679
a2
0.38879
d2
121.2
a3
0.09197
d3
268.62262
Solver realiza búsquedas metódicas de valores ideales para cada Xi tal que se obtiene el mayor valor
de la variable dependiente. En la tabla 5 se reportan los resultados del proceso de optimización
restringida de la producción, y la productividad asociada a cada vector de insumos.
10
Marco Antonio Paredes-Lizárraga
TECNOCIENCIA CHIHUAHUA, Vol. XV (3) e 844 (2021)
Para obtener la productividad asociada a cada vector de insumos, en la tabla 5 se indican los precios
en dólares para cada insumo, consultados con proveedores especializados: $1 Kg-1 para melaza
(consultado en alibaba.com), $2 Kg-1 para licor (consultado en quiminet.com) y $28 kg-1 para levadura
(consultado en mercadlibre.com). Con estos precios y las cantidades de cada Xi se calcula el costo
total de operación de cada experimento, indicado en la columna 6 de la tabla 5, y se calcula la
productividad reportada en la columna 7 de la tabla 5. En la columna 8 se reporta el costo unitario
por experimento estimado por U mL-1 de glucosiltransferasa.
En el renglón 4 se indican los valores óptimos reportados por Kawaguti et al. (2005) en su publicación
original (100. 60, 8) con la cual reporta que (en el tercer DOE secuencial) obtuvieron 6.65 U mL-1 de
glucosiltransferasa con el modelo de segundo orden pero que medido con el modelo de FDPI se
pronosticaron 4.35 U mL-1 de producto, con un costo de $0.444 por corrida, productividad de 9.8 y
costo unitario por experimento de 0.10 $mLU-1.
En el renglón 5 se describe la cantidad de insumos a aplicar para obtener la máxima producción física,
respetando el modelo de la Ec. (4), tal que con el vector de insumos (129.39, 72.897, 16.77) se
pronostican 5.78 U mL-1 de glucosiltransferasa a un costo de $0.74 por corrida, lo cual nos da una
productividad de 7.76 U exper $-1mL-1 y un costo unitario por experimento de 0.12 $mLU-1 de
glucosiltransferasa.
Una empresa con enfoque de producción operaría con el vector de insumos (129.39, 72.897, 16.77)
para producir 5.78 U mL-1 de glucosltransferasa y obtener una productividad de 7.76 U exper $-1mL-
1 a pesar de incurrir en mayor costo unitario por experimento de producción (0.12 $mLU-1) de
glucosiltransferasa. Con la descripción del máximo físico se cumple con el objetivo 1 planteado.
3.3 Optimización económica del modelo
En el renglón 6 se describe la cantidad de insumos a aplicar para obtener la máxima productividad,
respetando el modelo de la Ec. (5), tal que con el vector de insumos (118.39, 42,14, 4) con el cual se
pronostica una producción de 4.56 U mL-1 de glucosiltransferasa a un costo de $0.31 por corrida lo
cual nos da una productividad de 14.49 U exper $-1mL-1 y un costo unitario por experimento de 0.06
$mLU-1 de glucosiltransferasa.
Una empresa con enfoque de productividad operaría en el vector de insumos (118.32, 42,14, 4) para
producir 4.56 U mL-1 de glucosltransferasa y obtener una productividad de 14.49 U exper $-1mL-1 y
costo unitario por experimento de 0.06 $mLU-1. En condiciones de igualdad, una empresa con
información analítica del óptimo físico y óptimo económico preferirá operar en el óptimo económico
para maximizar sus beneficios, al disminuir su costo de producción (Gilpin & Rusik, 2001; Ho et al.
2017).
3.4 Rendimientos de escala, elasticidad de la producción y productividad
Dada la función definida por las Ecs. (2), los resultados de multiplicar cada modelo por el escalar
λ se reportan en la tabla 6, evidenciando que los rendimientos de la FDPI dependen de los valores de
los insumos, a diferencia de la función de producción de Cobb-Douglas (CD) en la cual los
rendimientos de la función no dependen del valor de los insumos. Los rendimientos de la FDPI
permiten optimizar la escala del experimento o tamaño de la empresa, permitiendo transitar de
rendimientos decrecientes a crecientes y viceversa, como lo describen Ho et al. (2017).
11
Marco Antonio Paredes-Lizárraga
Tabla 5. Tabla comparativa de resultados de optimización física y económica.
Table 5. Comparative table of economics and physical optimization results.
Indicadores
De
optimización
Melaza
(gL-1)
(X₁)
Licor
(gL-1)
(X₂)
Levadura
(gL-1)
(X₃)
Valor
Estimado
(Y*)(U mL-1)
Costo C
(USD Exp-1)
PT=
Y*/C
Costo
Unitario
(C/Y*)
US/unit
0.001
0.002
0.028
Xi min
70.24
42.14
7.23
Xi max
129.76
77.86
16.77
Óptimo
100
60
8
4.348
0.444
9.7941
0.1
Max Q
129.76
72.8699
16.77
5.779
0.745
7.7566
0.12
Max PT
118.317721
42.14
4
4.557
0.314
14.4866
0.06
En general, el operador λ transforma la función original tal que Y(λ, X) = RTS(λ, X) Y(X)
donde RTS(λ, X) es la función de rendimientos de escala, que se reportan en la columna 2 de
la tabla 6.
Para estimar los rendimientos de la FDPI de la Ec. (2) es más práctico utilizar la equivalencia
de rendimientos de la Ec. (6) que las deducciones particulares de RTS (λ, X) indicadas en la
columna 2 de la tabla 6. En la tabla 7 se reportan las estimaciones de elasticidades a diferentes
intensidades de uso de los insumos.
Tabla 6. La FDPI y cálculo de rendimientos RTS ( , X)
Table 6. FDPI and returns calculus RTS ( , X)
Y(X)
RTS (λ, X)
0ln( )




i
a
i i i i
A X C C d X
0
ln
1ln( )
i
ai
i i i
C
C C d X






0ln( )



i
a
i i i i
A X C C d X
0
0
ln( )
ln( )
i
ai i i
i i i
C C d X
C C d X








ln( )
i
a
i i i
A X d X



ln( )
ln( )
i
aii
ii
dX
dX







i
a
i i i
A X d X
ln( )
ln( )
i
aii
ii
dX
dX





A partir de la máxima productividad del modelo, indicada en la tabla 5 con los valores del vector
óptimo de insumos (118.32, 42.14, 4) con los cuales se obtiene la producción de 4.56 U mL-1 de
glucosiltransferasa con un costo total de insumos de 31 centavos y una productividad de 14.48 U
12
Marco Antonio Paredes-Lizárraga
TECNOCIENCIA CHIHUAHUA, Vol. XV (3) e 844 (2021)
exper $-1mL-1 (λ=1); Si aumentamos en 0.1% los insumos (λ=1.001), la producción aumenta
marginalmente y la productividad baja marginalmente. Cambiar la operación del proceso de λ=1 a
λ=1.001 baja la productividad, disminuye los rendimientos y genera inelasticidad en la producción,
como se evidencia en los renglones 1 y 2 de la tabla 7.
Si utilizamos un valor λ=0.8658 los valores del vector de insumos son (102.44, 36.48, 3.46) con los
cuales se obtiene la producción de 4.01 U mL-1 de glucosiltransferasa con un costo total de insumos
de 27 centavos y una productividad de 14.73 U exper $-1mL-1 y costo unitario de 0.065 $mLU-1 de
glucosiltransferasa; si aumentamos marginalmente los insumos, aplicando λ=0.8668, la tasa de
cambio de la producción es igual a la tasa de cambio de los insumos (0.0011) como se indica en las
columnas 8 y 9 de la tabla 7, la productividad se mantiene constante y la elasticidad es unitaria,
evidenciando rendimientos constantes de escala, como se evidencia en los renglones 3 y 4 de la tabla
7. De esta manera, la elasticidad de la producción nos permite llegar al óptimo global de
productividad; cumpliendo así el objetivo 3 planteado.
Por otra parte, si utilizamos un valor λ=0.8558 y aumentamos el vector en λ=0.8568, la tasa de cambio
de la producción es mayor a la tasa de cambio de los insumos, la producción es elástica, evidenciando
rendimientos crecientes de escala. Aumentos en el vector de insumos generan aumentos en la
productividad, como se evidencia en los renglones 5 y 6 de la tabla 7.
Tabla 7. Relaciones de λ con los rendimientos, productividad y elasticidad.
Table 7. λ relations with returns to scale, productivity and elasticity.
Lambda
(λ)
Melaza
(gL-1)
(X₁)
Licor
(gL-1)
(X₂)
Levadura
(gL-1)
(X₃)
Valor
Estimado
(Y*)(U mL-
1)
Costo
(USD
Exper-1)
PT=
Y*/C
Cambio
%∆Y*
Cambio
%∆C
elasticidad
1
118.317
42.14
4
4.55747
0.3146
14.487
1.001
118.436
42.182
4.004
4.5608
0.3149
14.483
0.00073
0.00101
0.7306
0.8658
102.44
36.485
3.4632
4.0127
0.2724
14.732
0.8668
102.558
36.527
3.4672
4.0173
0.2727
14.732
0.00115
0.00115
1
0.8558
101.256
36.063
3.4232
3.9663
0.2692
14.731
0.8568
101.374
36.106
3.4272
3.9707
0.2695
14.731
0.00118
0.00116
1.0172
En general, se corresponden las relaciones siguientes: a producción con elasticidad unitaria le
corresponden rendimientos constantes y máxima productividad global; a producción inelástica le
corresponde rendimientos decrecientes y productividad subóptima; a producción elástica le
corresponde rendimientos crecientes y productividad subóptima. La teoría económica sostiene que
a medida que la escala física de producción aumenta, el proceso de producción exhibirá primero
rendimientos crecientes a escala, seguida de rendimientos constantes a escala, y finalmente
rendimientos decrecientes a escala (Dollery et al; 2007).
Thayaparan & Neruja (2021) también confirman las relaciones de eficiencia y rendimientos al
analizar la eficiencia de120 predios agrícolas donde encontraron que 112 de ellos estaban operando
con rendimientos crecientes a escala, lo que significa que la mayoría de los cultivadores de arroz
13
Marco Antonio Paredes-Lizárraga
estaban operando en una región preóptima de la frontera de producción. Solo uno de los
agricultores produjo arroz con rendimientos decrecientes a escala, lo que indica que operó en una
región postóptima de la frontera de producción. Los restantes 7 agricultores operaron con
rendimientos constantes, encontrándose en la región óptima de la frontera de producción.
Los resultados de elasticidad, rendimientos y eficiencia obtenidos son concordantes con otros
estudios realizados por Gülbiten y Taymaz (2000) quienes analizan la industria de manufactura de
diversos países, comparada con la industria turca y encuentran que los rendimientos a escala no son
un factor importante para explicar el diferencial de productividad entre establecimientos pequeños
y grandes, pero que el tamaño de la planta es uno de los principales determinantes de la eficiencia.
La tabla 7 evidencia el tamaño de la planta con el tamaño del vector, determinado por λ. Shehu y
Mshelia (2007), quienes analizaron la eficiencia técnica de 180 pequeñas granjas y encontraron que el
95% de los granjeros operaron en la etapa I de producción con retornos de escala de 1.06. Esto indica
que los granjeros fueron ineficientes en la asignación y uso de los insumos productivos. Los granjeros
podrían mejorar la productividad aumentando la cantidad de insumos.
En consecuencia, se deduce que para alcanzar la máxima eficiencia y productividad del proceso
conviene explorar la operación en el vector de insumos (102.56, 36.52, 3.47) como centro del próximo
diseño experimental secuencial, tal que en este diseño experimental se logre una mejor aproximación
a los rendimientos constantes.
4. Conclusiones
Con el modelo FDPI propuesto en este trabajo se estimaron las combinaciones óptimas de insumos
que maximizan la producción, la productividad, la elasticidad de la producción y la escala del
experimento, cumpliendo los objetivos planteados. A los datos del primer DOE publicados por
Kawaguti se les aplicó regresión estadística restringida y optimización restringida en el software
Excel con los resultados que se describen. La producción óptima se localiza en el vector de insumos
(129.39, 72.897, 16.77) con el cual se pronostican 5.78 U mL-1 de glucosiltransferasa a un costo de $0.74
por corrida, lo cual nos da una productividad de 7.76 U exper $-1mL-1. La productividad máxima se
localiza en el vector de insumos (118.39, 42.14, 4) con el cual se pronostica una producción de 4.56 U
mL-1 de glucosiltransferasa a un costo de $0.31 por corrida lo cual nos da una productividad de 14.49
U exper $-1mL-1. La escala óptima del experimento, en la cual la elasticidad es unitaria y los
rendimientos son constantes, se localiza en el vector de insumos (102.44, 36.48, 3.46) con el cual se
pronostica una producción de 4.01 U mL-1 de glucosiltransferasa con un costo total de insumos de 27
centavos por experimento, lo cual nos da una productividad de 14.73 U exper $-1mL-1. La función de
producción tiene rendimientos decrecientes si el vector de insumos es proporcionalmente mayor que
el vector (102.5, 36.5, 3.47), y rendimientos crecientes si el vector de insumos es proporcionalmente
menor. Así, la intensidad de uso de los insumos permite transitar de rendimientos crecientes a
rendimientos decrecientes y viceversa. Una empresa con enfoque de producción operaría con el
vector de insumos (129.39, 72.897, 16.77) para producir 5.78 U mL-1 de glucosltransferasa y obtener
una productividad de 7.76 a pesar de incurrir en mayor costo unitario de producción (0.12 $mLU-1);
mientras que una empresa con enfoque de productividad operaría en el vector (118.39, 42,14, 4) para
producir 4.56 U mL-1 de glucosltransferasa y obtener una productividad de 14.49 U exper $-1mL-1 y
costo unitario de 0.06 $mLU-1. El análisis de los rendimientos y elasticidad de la producción refieren
que para alcanzar la máxima eficiencia y productividad del proceso conviene explorar la operación
en el vector de coordenadas (102.56, 36.52, 3.47) como centro del próximo diseño experimental
14
Marco Antonio Paredes-Lizárraga
TECNOCIENCIA CHIHUAHUA, Vol. XV (3) e 844 (2021)
secuencial, tal que en este diseño se logre una mejor aproximación a los rendimientos constantes y
una productividad óptima global de 14.732
La generalización del teorema de elasticidad plantea la oportunidad de explorar la aplicación del
análisis de elasticidad a otros modelos, como el de superficie de respuesta aplicada en DOEs.
Conflicto de interés
El autor declara que no tienen conflictos de interés con respecto al trabajo presentado en este reporte.
Nomenclatura
%∆C Cambio porcentual en costo
%∆Y Cambio porcentual en la variable dependiente
∆X Incremento en la variable independiente (insumo)
∆Y Incremento en variable dependiente, producción)
CD Función de Producción de Cobb-Douglas
CES Función de Producción Constant Elasticity of Substitution
CME=MSE Cuadrado Medio del Error, Mean Square Error
DE Diseño Experimental
DOE Diseño de Experimentos, Design of Experiments
FDP Función de Producción
FDPI Función de Producción de Ingeniería
ONU Organización de las Naciones Unidas
RTS(λX) Función de Rendimientos de Escala, Returns To Scale
λ Multiplicador escalar
R2 Coeficiente de correlación global
Xi Cantidad de insumo i utilizado en el DOE
5. Referencias
Barlow, J., and Vodenska, I. (2020). Socio-Economic Impact of COVID-19 Pandemic.
http://dx.doi.org/10.2139/ssrn.3720785
Chenery, H. B. (1949). Engineering Production Function. The Quarterly Journal of Economics 63, 507-
531. https://doi.org/10.2307/1882136
Davis, M., & Davis, R. (2003). Fundamentals of Chemical Reaction Engineering. Mc. Graw Hill.
https://resolver.caltech.edu/CaltechBOOK:2003.001
Dollery, B., Byrnes, J. y Crase, L. (2007). Economies of Scale and Population Size in Australian Local
Government Structural Reform Programs. Working Papers Series. https://bit.ly/3MI2nDk
Fogler, S. (2016). Elements of Chemical Reaction Engineering. Prentice Hall.
Gechert, S., Havranek, T., Irsova, Z., & Kolcunova, D. (2019). Douglas production Function? A
Quantitative Survey of the Capital-Labor Substitution Elasticity. Leibniz Information Centre for
Economics. https://bit.ly/3KGB2QL
Gilpin, R., & Rusik, D. (2001). Global Political Economy Understanding the International Economic
Order. Princeton University Press.
15
Marco Antonio Paredes-Lizárraga
Gülbiten, Ö; Taymaz, E. (2000) Are Small Firms Inefficient? a Schumpeterian Analysis of
Productivity Differentials. 9th Annual Conference of Economic Research Forum (ERF).
https://bit.ly/3F9XrES
Ho, S. J., & Dimitrije R. (2017). Returns to Scale, Productivity Measurement, and Trends in U.S.
Manufacturing Misallocation. Workink Papers. https://bit.ly/3iRBxvv
Humphrey, T. M. (1997). Algebraic Production Functions and Their Uses Before Cobb-Douglas.
Economic Quarterly Volume 83/1. https://bit.ly/3LHErjs
Kawaguti, H. Y., Manrich, E., Fleuri, L., & Sato, H. (2005). Production of Glucosyltransferase by
Erwinia Sp. Using Experimental. Brazilian Journal of Microbiology, 227-234.
https://doi.org/10.1590/S1517-83822005000300005
Lee, Y., Kim, T. (2017). The Effects of Agricultural Extension Service on Farm Productivity: Evidence
from Mbale District in Uganda. Preprints.org; 2017. http://dx.doi.org/10.20944/preprints
201704.0162.v1.
Levenspiel, O. (1999). Elements of Chemical Reactions Engineering. Prentice Hall.
Marsden, J., Pingry, D., & Whinston, A. (1974). Engineering Foundations of Production Functions.
Journal of Economic Theory, 124-140. https://bit.ly/3w0wqj0
ONU. (1978). Industry and Development No. 2. New York.
Paredes-Lizárraga, M. A. (2020). Modelacion de la fermentacion para la produccion de
fenilalanina. TECNOCIENCIA Chihuahua, 14(2), 48-65.
https://doi.org/10.54167/tecnociencia.v14i2.511
Shehu, J.F. and Mshelia, S.I., (2007). Productivity and technical efficiency of small-scale rice farmers
in Adamawa State, Nigeria. Journal of Agriculture & Social Sciences 3(4), 117-120.
https://bit.ly/3LJcXtR
Thayaparan, A. & Neruja, N. (2021) Factors Influencing Technical Efficiency of Paddy Farms in
Mullaitivu District: Non – Parametric Approach. Wayamba Journal of Management. Vol.
12. http://doi.org/10.4038/wjm.v12i1.7528
Wibe, S. (1983). Engineering Production Functions: A Survey. Economica, New Series, 51(204), pp.
401-411. https://bit.ly/3vFdDeb
2021 TECNOCIENCIA CHIHUAHUA.
Esta obra está bajo la Licencia Creative Commons Atribución No Comercial 4.0 Internacional.
https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/