Ingeniería y Tecnología  
Artículo arbitrado  
Comportamiento en vibraciones  
longitudinales y transversales de vigas de  
madera antigua de Picea abies  
Longitudinal and transversal vibrations behavior of old  
Picea abies wood beams  
1,2  
JAVIER RAMÓN SOTOMAYOR-CASTELLANOS  
Recibido: Noviembre 28, 2013  
Aceptado: Marzo 24, 2014  
Resumen  
Abstract  
El objetivo fue evaluar el comportamiento dinámico de la madera  
de Picea abies. Se realizaron pruebas de vibraciones  
longitudinales y transversales en cinco vigas con una antigüedad  
de cien años. Se propone un protocolo experimental para evaluar  
la resistencia mecánica y la capacidad de amortiguamiento de  
vibraciones mecánicas de las vigas empleando pruebas no  
destructivas. Se calcularon el módulo de elasticidad y el  
coeficiente de amortiguamiento correspondientes a las  
direcciones longitudinal, radial y tangencial de la madera. Los  
resultados indicaron una relación de anisotropía de los módulos  
de elasticidad del orden de E  E > E , con coeficientes de  
The objective was to evaluate the dynamic behavior of Picea  
abies wood. Longitudinal and transversal vibrations tests were  
performed in five wood beams with an antiquity of one hundred  
years. An experimental protocol is proposed to evaluate the  
mechanical strength and the damping capacity of the mechanical  
vibrations of beams using nondestructive methods. The modulus  
of elasticity and the damping coefficient corresponding to the  
longitudinal, radial and tangential directions of the wood were  
calculated. The results showed an anisotropy ratio of the moduli  
of elasticity in the order of E  E > ER, with acceptable  
T
L
variation coefficients in experimental wood. Similarly, the  
T
L
R
variación aceptables en experimentación de la madera.  
Igualmente, los coeficientes de amortiguamiento mostraron una  
anisotropía de: tan  > tan  > tan  . Se concluyó que las vigas  
damping coefficients showed anisotropy of:  > tan  > tan  .  
T
R
L
It was concluded that the old wood beams have similar  
mechanical properties to those of recently cut wood. The  
determined parameters can serve as a reference for the  
structural analysis of wooden elements present in old buildings.  
Nonetheless, it is necessary to consider the conditions of each  
case study in particular.  
T
R
L
antiguas tienen propiedades mecánicas similares a las de madera  
recientemente cortada. Los parámetros determinados pueden  
servir como referencia para el análisis estructural de elementos  
de madera presentes en edificaciones antiguas. Sin embargo,  
es necesario considerar las condiciones de cada caso de estudio  
en particular.  
Keywords: frequency, modulus of elasticity, damping  
coefficient, anisotropy, non destructive testing.  
Palabras clave: frecuencia, módulo de elasticidad, coeficiente  
de amortiguamiento, anisotropía, ensayos no destructivos.  
_
________________________________  
1
Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo. Facultad de Ingeniería en Tecnología de la Madera. Ciudad Universitaria, Edificio D.  
Morelia, Michoacán, México. 50030. Tel. (443) 364-2857.  
Dirección electrónica del autor de correspondencia: madera999@yahoo.com.  
2
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madera antigua de Picea abies  
Introducción  
éxico cuenta con una generosa hacienda cultural, constituida entre otras  
expresiones, por edificios y monumentos históricos. El mantenimiento y la  
M
renovación de las estructuras de madera que se integran en este patrimonio  
necesitan su evaluación estructural, la cual debe estar basada en los principios de mínima  
intrusión, de reversibilidad y en un método científico.  
La industria contemporánea de la  
construcción con madera diseña estructuras  
siguiendo criterios de servicio y de fiabilidad  
estructural recomendados por reglamentos y  
normas propuestos por instituciones  
académicas y empresariales.Antiguamente, las  
estructuras de madera fueron edificadas en  
función de la disponibilidad de la materia prima  
y aplicando criterios empíricos (Steiner yArnold,  
El módulo de elasticidad es uno de los  
parámetros necesarios para el diagnóstico  
estructural empleando el método del elemento  
finito (Cointe et al., 2007), las técnicas basadas  
en el enfoque de los estados límite (Dietsch,  
2010) y en el enfoque de análisis probabilístico  
(Köhler et al., 2007). Para el caso de diseño  
sísmico, es igualmente deseable contar con  
datos del módulo de elasticidad evaluado en  
condiciones dinámicas, por ejemplo, en  
vibraciones transversales (Saporiti-Machado y  
Palma, 2011).  
2
009), de tal forma, que es usual encontrar  
armazones antiguas con características  
constructivas particulares, lo que implica  
consideraciones especiales para su valoración.  
Entre otras estrategias, el restaurador precisa  
de adaptar los criterios de normas de  
clasificación contemporáneas en la evaluación  
del estado de deterioro de la madera, así como  
emplear métodos de carácter no destructivo y  
experimentos in-situ para determinar caracterís-  
ticas mecánicas de los miembros estructurales.  
La capacidad de una edificación o  
estructura de madera para amortiguar  
vibraciones en caso de eventos tales como  
sismos o movimientos excepcionales está dada  
por el amortiguamiento estructural, existente  
principalmente entre las conexiones de los  
elementos constitutivos de la edificación. Sin  
embargo, para fines de análisis estructural, es  
necesario contar con parámetros de la  
capacidad de disipación de energía de los  
elementos estructurales. Por ejemplo, el  
coeficiente de amortiguamiento del material en  
cuestión (Chopra, 2011).  
En la actualidad, la evaluación de  
estructuras de madera debe seguir los  
principios para su preservación propuestos por  
el Consejo Internacional de Monumentos y Sitios  
(
ICOMOS, 1999), así como respetar las  
recomendaciones para el análisis, conservación  
y restauración estructural del patrimonio  
arquitectural, establecidas por el Comité  
Científico Internacional para el Análisis y  
Restauración de Estructuras del Patrimonio  
Arquitectural (ISCARSAH, 2005).  
El módulo de elasticidad y el coeficiente de  
amortiguamiento de vigas de madera, son dos  
características de ingeniería necesarias para el  
análisis estructural de edificaciones con  
madera. Estos parámetros dependen de las  
propiedades de anisotropía del material, motivo  
por el cual es necesario calcularlos según las  
direcciones longitudinal, radial y tangencial del  
plano leñoso (Dietsch y Köhler, 2010).  
Este análisis requiere de datos  
experimentales estimados en elementos  
estructurales que formen parte de estructuras  
de madera en servicio. En este caso de estudio,  
se trata de vigas de madera con dimensiones y  
características tecnológicas reales de empleo  
de madera antigua.  
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madera antigua de Picea abies  
La especie Picea abies (L.) Karst (Spruce  
wood en inglés, Picea en español) es una de  
las más empleadas en estructuras de madera  
en Europa (Drdácký et al., 2006). Por su parte,  
la madera del género Picea y sus propiedades  
físico-mecánicas, son reconocidas como  
referencias en la investigación en Ciencias,  
Ingeniería y Tecnología de la Madera.  
dirección longitudinal de la madera, Olander et  
al. (1990) muestran valores del coeficiente de  
amortiguamiento para la madera de P. abies de  
tan = 0.09.  
Estos resultados provienen de experiencias  
realizadas con vigas de madera con dimensiones  
de empleo seleccionadas particularmente para  
pruebas de clasificación. En la literatura, es  
escasa la información de parámetros  
determinados a partir de vigas de madera  
antigua que forman o formaron parte de  
edificaciones antiguas. Parece pertinente,  
determinar parámetros de ingeniería que sirvan  
como referencia en el análisis estructural de  
edificaciones históricas de madera.  
Moshiri et al. (2009) empleando pruebas de  
vibraciones longitudinales, determinan en  
3
madera de P. abies con densidad de 484 kg/m  
y un contenido de humedad de 12%, un módulo  
de elasticidad en vibraciones transversales de  
12,615 MPa. Por su parte, Olsson et al. (2012)  
evalúan en la misma especie con densidad de  
3
72 kg/m y un contenido de humedad de 13.6%,  
4
Los autores revisados, trabajan con  
elementos estructurales o probetas de madera  
que satisfacen las normas para realizar pruebas  
en laboratorio. Por ejemplo, la norma ISO 13822  
(ISO, 2003) y las normas europeas EN 408  
(ECS, 2003) y EN 384 (ECS, 2004), empleadas  
para la evaluación de las propiedades físicas y  
mecánicas de elementos estructurales de  
madera. Estas normas regulan la configuración  
de los experimentos, pero sobre todo, las  
dimensiones y las características de las  
probetas. Esta normalización es específica para  
ensayos en condiciones estáticas. No existen  
normas para realizar ensayos dinámicos y de  
carácter no destructivo en vigas de madera. El  
método de evaluación aplicado en la práctica,  
sigue los criterios para la clasificación visual  
para madera de uso estructural recomendados  
por la norma EN 318 (ECS, 1997).  
un módulo de elasticidad en vibraciones  
longitudinales de 12,400 MPa.  
Respecto a pruebas de flexión transversal  
dinámica en la dirección tangencial de la madera  
de P. abies, Larsson et al. (1998), determinan  
un módulo de elasticidad de 12,200 MPa para  
3
madera con densidad de 400 kg/m y un  
contenido de humedad de 13.2%. Por su parte,  
también en pruebas de flexión dinámica, pero  
en la dirección radial de la madera, Olsson et  
al. (2012) evalúan un módulo de 12,700 MPa  
para madera de P. abies con densidad de 472  
3
kg/m y un contenido de humedad de 13.6%.  
Con relación a las características de  
amortiguamiento de la madera, Placet et al.  
(
2007) estudiaron con pruebas de flexión  
dinámica la madera de Quercus sessiliflora,  
Fagus sylvatica, Populus sp. y Picea abies. Sus  
valores del coeficiente de amortiguamiento (tan  
En el caso de estudio que se presenta, se  
propone un protocolo experimental para  
determinar características mecánicas y de  
amortiguamiento de vigas de madera antigua,  
empleando pruebas no destructivas de  
vibraciones.  
) variaron entre 0.12 y 0.18. Citados por Havimo  
2009), valores del coeficiente de amor-  
(
tiguamiento determinado en pruebas de flexión  
dinámica en la madera de Ulmus americana (tan  
= 0.29) y Pinus strobus (tan  = 0.19), son  
presentados por Olsson y Salmén (1997), y por  
Salmén (1984) para Picea abies (tan = 0.17).  
Igualmente, Placet et al. (2007) presentan  
valores para la madera de Quercus sessiliflora  
Dado que la autenticidad de los edificios  
históricos debe ser respetada, solo en  
ocasiones particulares es posible tener acceso  
a elementos estructurales de madera antigua y  
tener la oportunidad de realizar pruebas  
mecánicas en condiciones de laboratorio. En  
(
tan  = 0.12) y Fagus sylvatica (tan  = 0.11).  
Para el caso de pruebas de vibraciones en la  
4
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madera antigua de Picea abies  
la presente investigación, se estudia madera  
que formó parte del techo de la estación  
ferroviaria Masaryk (Praha Masarykovo  
nádra•í, en Checo), de la ciudad de Praga,  
República Checa. En 2011, el maderamen fue  
renovado y sus elementos constitutivos fueron  
removidos de su función original. De esta  
estructura, con una antigüedad estimada de 100  
años, se rescataron para su caracterización  
mecánica, cinco vigas de madera de P. abies.  
El objetivo de la investigación fue determinar los  
módulos de elasticidad y los coeficientes de  
amortiguamiento de vigas de madera de P. abies.  
sus cantos, pero apoyadas sobre dos soportes  
elásticos y aislantes situados en los puntos  
nodales del primer modo de vibración (0.224 L).  
Para las pruebas destinadas a medir la deflexión  
de las vigas en la dirección tangencial de la  
madera, las vigas estuvieron colocadas sobre  
una de sus caras, es decir, sobre su ancho, y  
apoyadas también sobre dos soportes elásticos  
y aislantes situados en los puntos nodales del  
primer modo de vibración (0.224 L) (Figura 1).  
Figura 1. Pruebas de vibraciones tangenciales. 1) Posición de  
impacto, 2) Posición del acelerómetro, 3) Punto nodal y posición  
de soporte. L = Dirección longitudinal; R = Dirección radial; T =  
Dirección tangencial.  
Materiales y métodos  
El material experimental consistió en cinco  
vigas de madera de P. abies, con dimensiones  
de 100 mm de grueso (T), 230 mm de ancho  
(R) y 3500 mm largo (L) (Figura 1). Una vez  
desmanteladas de la estructura original, las  
vigas se limpiaron y se almacenaron durante  
un año en un almacén con una temperatura  
promedio de 20 °C y una humedad relativa de  
65%. Antes de iniciar las pruebas, se calculó la  
densidad de la madera con la relación peso/  
volumen y se midió su contenido de humedad  
con un aparato sylvatest®.  
Las pruebas de vibraciones longitudinales,  
adaptaron el protocolo propuesto por Olsson et  
al. (2012), y las transversales el presentado por  
Padevìt et al. (2011). Los experimentos  
consistieron en medir la frecuencia natural de  
acuerdo a la configuración de cada tipo de  
ensayo: vibraciones longitudinales en la  
dirección longitudinal (L) de las vigas y  
transversales en las direcciones radial (R) y  
tangencial (T) del plano leñoso (Figura 1).  
El movimiento de las vigas se inició con un  
impacto elástico empleando un martillo modelo  
En los ensayos para medir las vibraciones  
en la dirección longitudinal de la madera, las  
vigas estuvieron colocadas sobre uno de sus  
cantos, es decir, sobre el grueso de las vigas,  
en un apoyo elástico y aislante localizado en  
medio de su portada (L/2) correspondiente al  
punto nodal del primer modo de vibración. En  
las pruebas transversales para medir la  
deflexión en la dirección radial, las vigas  
estuvieron colocadas igualmente sobre uno de  
8
206 (Brüel & Kjær®) instrumentado con un  
sensor de fuerza modelo PCB 208-A04. La  
aceleración fue registrada con un acelerómetro  
con una masa de 3 g, tipo 4519-003 (Brüel &  
Kjær®) con un sensor PCB 302-A02.  
Las señales temporales de la fuerza de  
excitación y del movimiento, fueron capturadas  
con un sistema de tratamiento de datos, modelo  
3565-1B (Hewlett Packard®), controlado con un  
4
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madera antigua de Picea abies  
sistema CADA-X (Leuven Measurement  
Systems®). La señal temporal del movimiento  
fue transformada al dominio de frecuencias  
usando un algoritmo de la Transformada Rápida  
de Fourier y la señal de la fuerza de excitación  
fue convertida en la función respuesta de la  
frecuencia (H(f)). Ambas señales fueron  
tratadas usando una estación de control de  
vibraciones modelo Front-end 3560-B-120, con  
el programa PULSE 14.0 (Brüel & Kjær®). La  
primera frecuencia fue calculada con una  
precisión de 2 Hz y medida en el diagrama  
Función Respuesta de la Frecuencia (H(f))  
versus frecuencias (f). A manera de ilustración  
de las mediciones realizadas, la Figura 2  
presenta los diagramas H(f) vs. f, de las  
pruebas longitudinales (L), radiales (R) y  
tangenciales (T) de la viga 3.  
Donde:  
u = Desplazamiento desde la posición de  
equilibrio(m)  
x = Coordenada espacial (m)  
c = Velocidad de onda (m/s)  
t = Tiempo (s)  
La solución de la ecuación (1), ha sido  
sintetizada por Brancheriau y Bailleres (2002)  
para estudios con madera. El módulo de  
elasticidad en vibraciones longitudinales fue  
calculado con la fórmula (2):  
2
2
(2)  
E  4L f   
L
H
Donde:  
E = Módulo de elasticidad longitudinal (Pa)  
L
Figura 2. Función respuesta de la frecuencia (H(f)) y frecuencias  
naturales (f) de la viga 3. L: longitudinal, R: radial yT: tangencial.  
L = Longitud de la viga (m)  
f = Frecuencia natural (Hz)  
H = Densidad de la madera con un  
3
contenido de humedad H (kg/m )  
En las pruebas radiales y tangenciales, el  
impacto fue aplicado en medio de la viga. La  
aceleración fue registrada con el acelerómetro  
situado cerca de un extremo de la viga (Figura  
1). Se realizaron cinco impactos y el promedio  
de los resultados fue utilizado para cálculos  
posteriores.  
En las pruebas longitudinales, el impacto fue  
aplicado en el centro de la sección transversal  
en un extremo de la viga. La aceleración fue  
registrada con el acelerómetro situado  
igualmente en el centro de la sección en el otro  
extremo de la viga (Figura 1). Se realizaron cinco  
impactos y el promedio de los resultados fue  
utilizado para cálculos posteriores.  
El análisis de las vibraciones transversales  
se basó en la ecuación de movimiento (3)  
propuesta por Stephen Timoshenko en 1928  
(Timoshenko et al., 1994) y empleada por Pers-  
torper (1993) en el estudio de vigas de madera:  
4
2
4
2
l
2
4
y  
y
4
y  
2
E l m   
y
m r  
l
E l  
ml  
 m r   
0  
(3)  
2
l
2
2
4
K´A G t  
x
t  
K´A G x t  
El análisis de las pruebas longitudinales, se  
fundamentó en la ecuación de onda (1) explicada  
por Meyers (1994):  
Donde:  
E = Módulo de Elasticidad de la madera (Pa)  
2
2
u
1  u  
I = Momento de inercia de la sección trans-  
(1)  
2
2
2
4
x
c t  
versal de la viga (m )  
5
0
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madera antigua de Picea abies  
m=Masaporunidaddelongituddelaviga(kg/m)  
r = Radio de rotación de la sección  
transversal de la viga (m )  
l
2
2
A = Área de la sección transversal de la viga (m )  
m, K = Constantes adimensionales  
G = Módulo de Rigidez de la madera (Pa)  
y = Desplazamiento en la dirección trans-  
versal de la viga (m)  
De la lectura de la gráfica del amortiguamiento  
de la amplitud de la vibración inducida en cada  
una de las pruebas (Figura 3), se calculó el  
decremento de tipo logarítmico (ln) con la  
fórmula (5) (Raichel, 2006):  
x = Distancia en la dirección longitudinal de  
la viga (m)  
t = Tiempo (s)  
K’ = Factor de forma en cortante (0.833 para  
vigas prismáticas)  
An  
ln  
(5)  
r = Radio de giro de la sección transversal  
An1  
2
de la viga (m )  
Con:  
Donde:  
= Decremento logarítmico  
En la ecuación (3), el primer término de la  
izquierda está ligado a la rigidez de la viga, el  
segundo a la inercia del movimiento, el tercer  
término representa el efecto de la inercia de  
rotación de la sección transversal de la viga y el  
cuarto significa el efecto del esfuerzo cortante  
interno.  
A = Amplitud de la vibración en el ciclo n (m)  
n
A =Amplitud de la vibración en el ciclo n+1 (m)  
n+1  
Figura 3. Amortiguamiento de la amplitud de las vibraciones  
radiales de la viga 3.  
Una solución numérica de la ecuación (3)  
para el caso de una viga de sección rectangular,  
apoyada sobre soportes elásticos de tipo  
simple, como es el caso de estudio, ha sido  
aplicada en estudios con madera por Chui y  
Smith (1990) y Machek et al. (2001). El módulo  
de elasticidad transversal se calculó con la  
fórmula (4):  
2
4
2
2
r
4
 L f    
1 K   
f
H
ER,T  
(4)  
4
2
2
L
Posteriormente, empleando el decremento  
logarítmico obtenido con la fórmula (5), el  
coeficiente de amortiguamiento se calculó con  
la fórmula (6):  
m r  
Donde:  
ER,T = Módulo de elasticidad en las  
direcciones radial (R) o tangencial (T) (Pa)  
tan  tan( )  
(5)  
L = Distancia entre apoyos (m)  
f
L = Longitud de la viga (m)  
Donde:  
f = Frecuencia natural (Hz)  
tan  = Coeficiente de amortiguamiento  
 = Decremento logarítmico  
H = Densidad de la madera con un  
3
contenido de humedad H (kg/m )  
5
1
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madera antigua de Picea abies  
de la madera. Por su parte, Bodig y Jayne (1982)  
Resultados y discusión  
proponen que los nudos, las bolsas de resina y  
La madera de las vigas presentó  
la presencia de médula, son características que  
peculiaridades tecnológicas propias de la  
modifican parámetros mecánicos determinados  
madera aserrada de forma artesanal. Su  
en piezas grandes de madera. Estos argu-  
orientación no estaba bien alineada con las  
mentos asociados a la variabilidad natural del  
direcciones de anisotropía de la madera, de tal  
plano leñoso, pueden explicar la discrepancia  
forma que las solicitaciones y los parámetros  
en valores entre cada una de las vigas.  
de las vigas definidos no coincidieron nece-  
sariamente con las direcciones longitudinal,  
radial y tangencial.Además, la madera contenía  
nudos naturales, así como algunas rajaduras  
ocasionadas por el intemperismo sufrido  
durante su vida en servicio. Sin embargo, los  
coeficientes de variación calculados para los  
diferentes parámetros, son aceptables, y no  
denotan necesariamente una diferencia  
importante.  
Cuadro 1. Resultados de las pruebas de vibraciones longitudinales.  
H
H  
(kg/m3)  
448  
fL  
EL  
tan L  
(%)  
Viga  
(
%)  
(Hz)  
793  
709  
720  
690  
763  
735  
42  
(MPa)  
13,796  
10,185  
11,390  
8,531  
12,350  
11,250  
2,014  
0.18  
1
2
13.14  
11.08  
11.79  
11.41  
12.16  
11.92  
0.795  
0.07  
0.46  
0.37  
0.47  
0.40  
0.44  
0.41  
0.041  
0.10  
414  
3
449  
4
366  
La magnitud de los resultados presentados  
en los Cuadros 1, 2 y 3, es semejante a la de  
los autores discutidos en los trabajos anteriores,  
tanto para los módulos de elasticidad (Larsson  
et al., 1998; Moshiri et al., 2009; Olsson et al.,  
5
433  
CV  
422  
34  
2012), cuyos resultados se sitúan en el rango  
0.08  
0.06  
de 12,200 a 12,700 MPa, como para los  
coeficientes de amortiguamiento (Salmén,  
H = Contenido de humedad;  = Densidad; f = frecuencia longitu-  
H
L
dinal; E = Módulo de elasticidad longitudinal; tan  = Coeficiente  
1
1
984; Olander et al., 1990; Olsson y Salmén,  
997; Placet et al., 2007) cuyos resultados  
L
L
de amortiguamiento longitudinal.  
varían entre 0.09 y 0.29. Las diferencias entre  
los resultados de esta investigación y los de los  
investigadores citados pueden ser explicadas  
por el efecto de la variabilidad natural de las  
características mecánicas de la madera, así  
como por las particularidades en las configu-  
raciones de los métodos de ensayo empleados.  
Cuadro 2. Resultados de las pruebas de vibraciones transver-  
sales radiales.  
H
H  
fR  
(Hz)  
99  
ER  
tan R  
(%)  
Viga  
(kg/m3)  
(
%)  
(MPa)  
12,024  
9,284  
9,956  
8,302  
11,290  
10,171  
1,500  
0.15  
1
2
13.14  
11.08  
11.79  
11.41  
12.16  
11.92  
0.795  
0.07  
448  
414  
449  
366  
433  
422  
34  
0.82  
0.98  
0.87  
0.84  
0.76  
0.85  
0.081  
0.09  
90  
Los valores de la densidad, de la frecuencia,  
del módulo de elasticidad y del coeficiente de  
amortiguamiento son diferentes para cada una  
de las cinco vigas estudiadas.Aún más notorias,  
son las diferencias según la dirección estudiada:  
longitudinal, radial y tangencial.  
3
90  
4
91  
5
97  
CV  
93  
De acuerdo con Brémaud et al. (2012), la  
densidad de la madera así como el ángulo de  
las microfibrillas en la capa secundaria y los  
polímeros que componen la pared celular, tienen  
una influencia en el módulo de elasticidad  
dinámico y en el coeficiente de amortiguamiento  
4.3  
0.05  
0.08  
H = Contenido de humedad;  = Densidad; f = frecuencia radial;  
H
R
E = Módulo de elasticidad radial; tan  = Coeficiente de amorti-  
R
R
guamiento radial.  
5
2
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JAVIER RAMÓN SOTOMAYOR-CASTELLANOS: Comportamiento en vibraciones longitudinales y transversales de vigas de  
madera antigua de Picea abies  
Cuadro 3. Resultados de las pruebas de vibraciones transver-  
sales tangenciales.  
el módulo de elasticidad de las vigas se calculó  
a partir de su frecuencia natural de vibración,  
parámetro que integra el efecto de la masa y de  
las propiedades relacionadas con su inercia.  
H
H  
(kg/m3)  
448  
fT  
(Hz)  
44  
ET  
tan T  
(%)  
Viga  
(
%)  
(MPa)  
13,431  
10,524  
11,412  
9,079  
12,710  
11,431  
1,731  
0.15  
La Figura 4 presenta el módulo de  
1
2
13.14  
11.08  
11.79  
11.41  
12.16  
11.92  
0.795  
0.07  
1.56  
1.74  
1.76  
1.67  
1.53  
1.65  
0.104  
0.06  
elasticidad longitudinal (E ) de las vigas  
L
estudiadas en función de la densidad ( ) y la  
H
414  
41  
recta de predicción de la fórmula (2). La recta  
teórica fue calculada con el valor promedio de  
3
449  
41  
las frecuencias del Cuadro 1 (f = 735 Hz). En  
4
366  
40  
L
el mismo contexto, la Figura 5 presenta los  
5
433  
44  
módulos de elasticidad tangencial (E ) y radial  
T
(
E ) en función de la densidad ( ) y las rectas  
CV  
422  
42  
R
H
de predicción de la fórmula (4). Las rectas  
fueron calculadas con los valores promedio de  
34  
1.88  
0.04  
0.08  
las frecuencias de los Cuadros 2 (f = 93 Hz) y  
R
3
(f = 42 Hz). Los valores experimentales de  
T
H = Contenido de humedad; H = Densidad; fT = frecuencia  
los módulos de elasticidad fluctúan alrededor  
de las rectas de predicción y su dispersión  
puede ser explicada por la variación de la  
densidad y resistencia entre las vigas lo que  
resulta en una frecuencia de vibración  
característica de cada una de ellas.  
tangencial; ET = Módulo de elasticidad tangencial; tan  =  
T
Coeficiente de amortiguamiento tangencial.  
Los módulos de elasticidad presentan una  
relación de anisotropía del orden de ET E >  
L
E , con coeficientes de variación aceptables en  
R
experimentación de la madera. Igualmente, los  
coeficientes de amortiguamiento muestran una  
anisotropía de: tan  > tan  > tan  , en una  
Figura 4. Módulo de elasticidad longitudinal (E ) en función de la  
L
densidad ( ) y recta de predicción de la fórmula (2).  
H
T
R
L
proporción de: 1: 0.52: 0.25, resultados que  
concuerdan con los de Brémaud et al. (2011) y  
se pueden explicar por la variación en las  
propiedades de la madera de acuerdo a la  
dirección en la que se observan. Es decir, las  
propiedades de anisotropía que le son distintivas  
a este material.  
La fórmula (2) empleada para la deter-  
minación del módulo de elasticidad radial,  
considera el efecto de la inercia de la masa y  
de la rotación de la sección transversal sobre  
la deformación de la viga. Sin embargo, la  
relación largo (dirección L) de la viga en relación  
a su peralte (dirección R) en la configuración  
de las pruebas de flexión transversal radial, fue  
de 16.7. Esta proporción permite, en efecto, y  
para el caso de las vigas de madera con  
relaciones mayores a 15, considerar como  
mínima la participación del esfuerzo cortante en  
los resultados. Es importante hacer notar que  
En la Figura 5 se distinguen dos zonas para  
los valores experimentales de los módulos de  
elasticidad E y E de las vigas. Estas dos  
T
R
zonas comparten un área común para valores  
experimentales de las direcciones radial y  
tangencial y las rectas teóricas de predicción  
son casi paralelas con coeficientes de  
2
determinación R = 0.74 para E = 43.28  –  
T
H
2
831 y R = 0.65 para E = 35.22  - 4691. Si  
R H  
6
5
3
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JAVIER RAMÓN SOTOMAYOR-CASTELLANOS: Comportamiento en vibraciones longitudinales y transversales de vigas de  
madera antigua de Picea abies  
se pondera la geometría de las vigas y la  
frecuencia según la dirección de las  
mediciones, es posible reunir los resultados de  
las direcciones radial y tangencial en un solo  
grupo. Este argumento sugiere que en  
condiciones reales de evaluación y análisis de  
estructuras de madera, cuando las vigas no  
están orientadas y/o alineadas con las  
direcciones de anisotropía de la madera, los  
módulos de elasticidad pueden ser estimados  
empleando cualquiera de las dos posiciones de  
las vigas empleadas en la investigación.  
El módulo de elasticidad determinado aquí,  
se refiere a una solicitación dinámica, lo cual  
implica una magnitud mayor en comparación a  
valores determinados con solicitaciones en  
condición estática, de acuerdo a los resultados  
propuestos por Bodig y Jayne (1982) y Pellerin  
y Ross (2002). Además, las vigas contenían  
peculiaridades tales como nudos, porciones de  
médula y no estaban recortadas en las  
direcciones de anisotropía de la madera. Los  
valores aquí presentados, ejemplifican  
parámetros de madera con dimensiones y con  
calidad que se encuentran habitualmente en  
edificaciones antiguas.  
Figura 5. Módulos de elasticidad tangencial (E ) y radial (E ) en  
T
R
función de la densidad ( ) y rectas de predicción de la fórmula  
H
(
4).  
Los coeficientes de amortiguamiento  
disminuyen si las frecuencias naturales  
aumentan, considerando que las magnitudes de  
éstas varían a su vez de acuerdo a las  
direcciones en que fueron medidas. La Figura 6  
ilustra la anisotropía de los coeficientes de  
amortiguamiento y presenta las correlaciones  
con las frecuencias. Se pueden distinguir dos  
zonas: la primera para las direcciones radial y  
tangencial, y la segunda para las direcciones  
radial, tangencial y longitudinal. En ambos casos,  
2
los coeficientes de determinación (R ) son altos.  
Estos resultados encuentran su utilidad en  
trabajos de diagnóstico estructural in-situ, cuando  
es difícil medir directamente el amortiguamiento  
en componentes de madera. Estimar estos  
parámetros a partir de mediciones de fre-  
cuencias, puede ser una solución que, tomando  
en cuenta las condiciones reales de cada caso  
de estudio, es de utilidad práctica.  
El valor promedio del módulo de elasticidad  
transversal calculado en la dirección tangencial  
es 12.39% mayor que el módulo correspon-  
diente a la dirección radial.  
Para cada una de las pruebas, la posición  
relativa de las vigas fue diferente. En el caso de  
la dirección radial, las vigas estuvieron  
apoyadas sobre su canto o cara, de tal forma  
que el peralte o la altura de la viga es mayor en  
comparación con el caso de los ensayos  
tangenciales, en los cuales el grueso o canto  
es la altura de la viga. Esto implica que el  
cociente entre la longitud de la viga y su peralte,  
sea mayor en las pruebas para medir  
parámetros radiales. De aquí que la aparición  
de deformaciones adicionales ocasionadas por  
esfuerzos cortantes resulten en módulos de  
elasticidad aparentemente menores para la  
solicitación radial.  
Figura 6. Coeficientes de amortiguamiento tangencial (tan  ), radial  
T
(tan  ) y longitudinal (tan  ) en función de la frecuencia (f).  
R
L
5
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JAVIER RAMÓN SOTOMAYOR-CASTELLANOS: Comportamiento en vibraciones longitudinales y transversales de vigas de  
madera antigua de Picea abies  
BRÉMAUD, I., J. Gril, and B. Thibaut. 2011. Anisotropy of wood  
vibrational properties: dependence on grain angle and review  
of literature data. Wood Science and Technology 45:735-  
754.  
Es oportuno hacer notar que la muestra  
estudiada de cinco piezas es pequeña desde  
el punto de vista estadístico. Dado la  
singularidad y escasez del material cuando se  
experimenta con madera extraída de  
edificaciones históricas, los resultados  
promedio de cinco vigas pueden ser utilizados  
como referencia para estudios más amplios,  
considerando las reservas convenientes para  
cada caso de estudio en particular.  
BRÉMAUD, I., J. Ruelle, A. Thibaut, and B. Thibaut. 2012. Changes  
in viscoelastic vibrational properties between compression  
and normal wood: roles of microfibril angle and of lignin.  
Holzforschung 67(1):75-85.  
COINTE, A., P. Castéra, P. Morlier, and P. Galimard, P. 2007.  
Diagnosis and monitoring of timber buildings of cultural heritage.  
Structural Safety 29:337-348.  
CHOPRA, A.K. 2011. Dynamics of Structures. (Fourth Edition).  
Prentice-Hall International Series in Civil Engineering and  
Engineering Mechanics. USA.  
CHUI, Y.H. and I. Smith. 1990. Influence of rotatory inertia, shear  
deformation and support condition on natural frequencies of  
wooden beams. Wood Science and Technology 24: 233-  
Conclusiones  
2
45.  
Los módulos de elasticidad y los  
coeficientes de amortiguamiento calculados en  
vigas de madera de P. abies pueden ser útiles  
como valores de referencia para análisis y  
modelado estructural de edificios de madera con  
valor histórico y cultural.  
DIETSCH, P. and J. Köhler. 2010.Assessment of Timber Structures.  
COST Action E55. Modelling of the Performance of Timber  
Structures. European Science Foundation. Shaker Verlag.  
Deutschland.  
DRDÁCKÝ, M.F., M. Kloiber, and M. Kotlínová. 2006. Low invasive  
diagnostics of historic timber. In: In-Situ Evaluation of Historic  
Wood and Masonry Structures. NSF/MŠMT supported US-  
Czech project and RILEM Workshop. Prague. Czech Republic.  
EUROPEAN COMMITTEE FOR STANDARDIZATION. 1997. European Standard  
EN 318. Structural timber. Grading. Requirements for visual  
strength grading standards. Brussels.  
EUROPEAN COMMITTEE FOR STANDARDIZATION. 2003. European Standard  
EN 408. Timber structures. Structural timber and glued laminated  
timber. Determination of some physical and mechanical  
properties. European Committee for Standardization. Brussels.  
EUROPEAN COMMITTEE FOR STANDARDIZATION. 2004. European Standard  
EN 384. Structural timber–Determination of characteristic  
values of mechanical properties and density. European  
Committee for Standardization. Brussels.  
HAVIMO, M. 2009. A literature-based study on the loss tangent of  
wood in connection with mechanical pulping. Wood Science  
and Technology 43:627-642.  
INTERNATIONAL COUNCIL ON MONUMENTS AND SITES (ICOMOS). 1999.  
Principles for the Preservation of Historic Timber Structures.  
Mexico.  
INTERNATIONAL SCIENTIFIC COMMITTEE FOR ANALYSIS AND RESTORATION OF  
STRUCTURES OF ARCHITECTURAL HERITAGE (ISCARSAH). 2005.  
Recommendations for the analysis, conservation and  
structural restoration of architectural heritage. Spain.  
INTERNATIONAL ORGANIZATION FOR STANDARDIZATION. 2003. International  
Standard ISO 13822: Bases for design of structures -  
Assessment of existing structures. Switzerland.  
KÖHLER, J., J.D. Sørensen, and M.H. Faber. 2007. Probabilistic  
modeling of timber structures. Structural Safety 29(4):255-  
267.  
El protocolo experimental para determinar  
características mecánicas y de amortigua-  
miento de vigas de madera antigua, empleando  
pruebas no destructivas de vibraciones, fue útil  
para la caracterización mecánica de elementos  
estructurales de madera. La densidad, los  
módulos de elasticidad y los coeficientes de  
amortiguamiento determinados pueden servir  
como referencia para diagnósticos mecánicos  
de edificaciones antiguas cuando no sea  
prudente desmantelar estructuras de madera.  
Los módulos de elasticidad y los coefi-  
cientes de amortiguamiento de la madera,  
mostraron propiedades de anisotropía en las  
direcciones longitudinal, radial y tangencial de  
las vigas. La magnitud de los coeficientes de  
variación de los módulos de elasticidad y los  
coeficientes de amortiguamiento, en las tres  
direcciones de la madera, se sitúa en un  
intervalo aceptable y comparable en carac-  
terización mecánica de la madera.  
LARSSON, D., S. Ohlsson, M. Perstorper, and J. Brundin. 1998.  
Mechanical properties of sawn timber from Norway spruce.  
Holz als Roh- und Werksloff 56:331-338.  
MACHEK, L., H. Militz, and R. Sierra-Alvarez. 2001. The use of an  
acoustic technique to assess wood decay in laboratory soil-  
bed tests. Wood Science and Technology 34:467-472.  
MEYERS, M.A. 1994. Dynamic Behavior of Materials. John Wiley &  
Sons. USA.  
Literatura citada  
BODIG, J. and B.A. Jayne. 1982. Mechanics of Wood Composites.  
Van Nostrand Reinhold. USA.  
BRANCHERIAU, L. and H. Bailleres. 2002. Natural vibration analysis  
of clear wooden beams: a theoretical review. Wood Science  
and Technology 36: 347-365.  
MOSHIRI, F., B. Mobasher, and O.T. Issa. 2009. Detection of defects  
in timber using dynamic excitation and vibration analysis.  
Thesis No: TD 087/2009. Växjö University. Sweden.  
5
5
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Vol. VIII, Núm. 1 • Enero-Abril 2014 •  
JAVIER RAMÓN SOTOMAYOR-CASTELLANOS: Comportamiento en vibraciones longitudinales y transversales de vigas de  
madera antigua de Picea abies  
OLANDER, K., l. Salmen, and M. Htun. 1990. Relation between  
mechanical properties of pulp fibers and the activation energy  
of softening as affected by sulfonation. Nord & Pulp Paper  
Journal 5(2): 60-64.  
PLACET. V., J. Passard, and P. Perré. 2007. Viscoelastic properties  
of green wood across the grain measured by harmonic tests  
in the range 0-95 °C: hardwood vs. softwood and normal vs.  
reaction wood. Holzforshung 61:548-557.  
OLSSON,A.M. and L. Salmén. 1997.The effect of lignin composition  
on the viscoelastic properties of wood. Nordic Pulp & Paper  
Journal 12(3):140-144.  
OLSSON, A., J. Oscarsson, M. Johansson, and B. Kaällsner. 2012.  
Prediction of timber bending strength on basis of bending  
stiffness and material homogeneity assessed from dynamic  
excitation. Wood Science and Technology 46(4): 667-683.  
PADEVÌT, P., T. Tesárek, and T. Plachý. 2011. Evolution of  
mechanical properties of gypsum in time. International Journal  
of Mechanics 1(5): 1-9.  
PELLERIN, R.F. and R.J. Ross. Editors. 2002. Nondestructive  
Evaluation of Wood. Forest Products Society. USA.  
PERSTORPER, M. 1993. Dynamic modal tests of timber evaluation  
according to the Euler and Timoshenko theories. In:  
Proceedings of the 9th International Symposium on  
Nondestructive Testing of Wood. Washington State University.  
USA. pp: 45-54.  
RAICHEL, D.R. 2006. (Second edition). The science and applications  
of acoustics. Springer, USA.  
SALMÉN, L. 1984. Viscoelastic properties of in situ lignin under  
water-saturated conditions. Journal of Materials Science  
19:3090-3096.  
SAPORITI-MACHADO, J. and P. Palma. 2011. Non-destructive evaluation  
of the bending behavior of in-service pine timber structural  
elements. Materials and Structures 44:901-910.  
STEIGER, R. and M. Arnold. 2009. Strength grading of Norway  
spruce structural timber: revisiting property relationships used  
in EN 338 classification system. Wood Science and  
Technology 43:259-278.  
TIMOSHENKO, S., D.H. Young, and W. Weaver. 1994. Reprinted  
Edition. Vibration problems in Engineering. New York: John  
Wiley. USA.  
Este artículo es citado así:  
Sotomayor-Castellanos, J. R. 2014. Comportamiento en vibraciones longitudinales y transversales de vigas  
de madera antigua de Picea abies. TECNOCIENCIA Chihuahua 8(1): 46-56.  
Resumen curricular del autor  
JAVIER RAMÓN SOTOMAYOR CASTELLANOS. Es Ingeniero en Tecnología de la Madera, egresado de la Facultad de Ingeniería en Tecnología de  
la Madera, de la Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo, en Morelia, Michoacán, México. Estudió la Maestría enAnálisis  
Estructural de Monumentos y Construcciones Históricas en el programa combinado en la Universidad de Minho, Portugal y en la  
Universidad Técnica Checa en Praga, Republica Checa. Actualmente es Profesor en la Facultad de Ingeniería en Tecnología de la  
Madera. Su línea de investigación es la caracterización mecánica de la madera.  
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• Vol. VIII, Núm. 1 • Enero-Abril 2014 •