TECNOCIENCIA CHIHUAHUA, Vol. XIV (2) e 511 (2020) https://vocero.uach.mx/index.php/tecnociencia 1

ISSN-e: 2683-3360

Artículo Científico

Modelación de la fermentación para la producción de

fenilalanina

Fermentation modeling for phenylalanine production

*Correspondencia: Correo electrónico: marco.pl@mochis.tecnm.mx (Marco Antonio Paredes-Lizárraga)

DOI: https://doi.org/10.54167/tecnociencia.v14i2.511

Recibido: 16, abril, 2020; Aceptado: 28, julio, 2020

Publicado por la Universidad Autónoma de Chihuahua, Dirección de Investigación y Posgrado.

Resumen

Se detalla la aplicación de la función de producción Cobb-Douglas (CD) a un proceso de

fermentación, aplicando en Excel® Solver® regresión restringida, regresión paso a paso y

optimización restringida con el objetivo de determinar la combinación óptima de insumos que

maximiza la producción y productividad. El modelo CD correlaciona con R2= 0.941. La producción

óptima se logra con X1=1gL-1 de glicerol crudo, X2=1gL-1de sulfato de amonio, X3=12.46 gL-1 de otras

sales, X4=2.318 gL-1 de vitaminas y elementos traza y X5=36 h de tiempo de incubación con

producción de 1.227gL-1 de fenilalanina, costo total de $0.5866 por ensayo y productividad de

2.093g L-1$-1 por ensayo. La productividad óptima se logra con X1=1, X2=1, X3=12.46, X4=0.331 y

X5=36 respectivamente con producción de 0.886gL-1 de fenilalanina y costo total de $0.0898 por

ensayo y productividad de 9.8674 g L-1$-1 por ensayo. La eficiencia de escala induce a considerar la

reducción proporcional de insumos para que progresivamente el proceso se aproxime a suma de

exponentes unitaria, para aumentar la productividad. La regresión paso a paso puede acotar la

superficie de respuesta, abriendo puertas a otros modelos de regresión que puedan recuperar la

correlación de la superficie de respuesta de diversos diseños experimentales.

Palabras clave: función de producción, regresión restringida paso a paso, Excel® Solver®,

superficie de respuesta, productividad

Abstract

The application of the Cobb-Douglas (CD) production function to a fermentation process is

detailed, applying restricted regression, step-by-step regression and restricted optimization in

Excel® Solver® in order to determine the optimal combination of inputs that maximizes the

production and productivity. The CD model correlates with R2 = 0.941. Optimal production is

achieved with X1 =1gL-1 of crude glycerol, X2 =1gL-1 of ammonium sulfate, X3 =12.46 gL-1 of other

salts, X4 =2,318 gL-1 of vitamins and trace elements and X5 =36 h incubation time with production of

1,227gL-1 of phenylalanine, total cost of $ 0.5866 per assay and productivity of 2,093g L-1$-1 per

assay. Optimal productivity is achieved with X1 =1, X2 =1, X3 =12.46, X4 = 0.331 and X5 =36

Marco Antonio Paredes-Lizárraga1*

1Instituto Tecnológico Nacional de México. Campus Instituto Tecnológico de Los Mochis.

Marco Antonio Paredes-Lizárraga TECNOCIENCIA CHIHUAHUA, Vol. XIV (2) e 511 (2020)

2

respectively with production of 0.886gL-1 of phenylalanine and total cost of $ 0.0898 per test and

productivity of 9.8674 g L-1$ -1 per trial. The scale efficiency induces to consider the proportional

reduction of inputs so that the process progressively approaches the sum of unit exponents, to

increase productivity. Stepwise regression can narrow the response surface, opening doors to other

regression models that can recover the response surface correlation from various experimental

designs.

Keywords: production function, stepwise restricted regression, Excel® Solver®, response surface,

productivity.

1. Introducción

Los modelos de programación matemática permiten obtener una solución mejor, de las muchas

soluciones posibles, suficientemente meritoria para explorar la factibilidad de aplicarla al proceso.

Según Igartua y Humanes (2004), un modelo es una representación teórica y simplificada del

mundo real; todo modelo ha de fundamentarse en una teoría y por esta razón no se entienden los

modelos si no se encuadran en un marco conceptual mayor. Los modelos sirven para formular

teorías. García-Sabater y Maheut (2016) indican que los modelos no son la realidad, son el atajo que

nos permite aprehenderla. El principal beneficio en la generación de un modelo es la del

comportamiento de la realidad. Con frecuencia ocurre que una vez finalizado el modelo los

objetivos perseguidos inicialmente se hayan alcanzado sin hacer ningún tipo de experimento.

Los modelos de función de producción (FDP), desde el punto de vista predictivo, son útiles para

establecer entre qué valores estará la producción en base a la medición o extrapolación de los

factores de producción (López, 1999). En ingeniería las variables de procesos son de diversa índole,

significados e implicaciones distintos a los de la economía. Por ejemplo, en deshidratación de

alimentos aumentar la temperatura disminuye la cantidad de agua retenida (producto obtenido Y)

o al aumentar el pH de un cultivo disminuye la actividad biológica del microorganismo que

produce la fermentación o síntesis (y el producto obtenido).

Se ha reportado que las funciones de producción se han aplicado para comparar agricultura y

eficiencia del sector (Farrel, 1957), productividades agrícolas entre países (Yamada y Ruttan, 1989),

producción de azúcar (Singh et al., 2007), nuez de cola (Ojo et al., 2010), caña de azúcar (Baiyegunhi

y Arnold, 2011), aceite de palma (Oguzor, 2013), cultivo de mandioca (Taiwo y Bolariwa, 2014),

pesca (Suhaeni et al., 2014), producción de huevo (Zarini et al., 2015). Se han aplicado a la extracción

de compuestos bioactivos e impregnación de componentes en la industria alimentaria, tales como

procesos de extracción de fructanos (Narváez-Flores et al., 2015) y absorción de sorbitol (Paredes-

Lizárraga y Quintero-Ramos, 2017), cuyos ajustes fueron satisfactorios.

La FDP, en economía, se aplica para analizar la contribución cuantitativa que los insumos (las

variables de la producción) hacen al producto total obtenido; mediante la FDP se analiza la

eficiencia en la asignación de recursos. La FDP más conocida es la función de producción de Cobb-

Douglas (CD) (Rensman, 1996; Debertin, 2012; Sturgeon, 2012)

Una propiedad importante de la FDP es el rendimiento de escala. Ho et al., (2017) comentan que los

rendimientos constantes implican un costo marginal constante, mientras que los rendimientos

decrecientes implican un costo marginal que aumenta con cada unidad producida. Como resultado,

si los rendimientos a escala disminuyen de constante a decreciente, el costo marginal de la última

unidad excedería el costo promedio de todas las unidades producidas, reduciendo el margen de

beneficio y la productividad; aumentos en el costo marginal de producción obligan al

establecimiento a cobrar un precio más alto. Las desviaciones de los rendimientos constantes a

Marco Antonio Paredes-Lizárraga TECNOCIENCIA CHIHUAHUA, Vol. XIV (2) e 511 (2020)

3

escala implican que el tamaño del establecimiento afecta su productividad. Por otra parte, Gilpin y

Rusik (2001) sugieren que, en una industria caracterizada por rendimientos crecientes, una empresa

con una ventaja inicial puede aumentar su producción y disminuir sus costos promedio mucho más

rápidamente que los competidores que recién comienzan la producción. Por este motivo es

importante determinar la combinación de insumos que maximiza el beneficio de la empresa, lo cual

implica atender y entender las relaciones económicas de los rendimientos de escala en los procesos

de producción. De todo esto, se deduce que no hay conflicto entre economía e ingeniería.

Por lo anterior, el objetivo consiste en determinar la combinación de insumos que hace máxima la

producción de fenilalanina por fermentación y la combinación de insumos que hace máxima la

productividad de fenilalanina por fermentación, dos aspectos relacionados pero diferentes.

Hipotéticamente, la aplicación del modelo de FDP de Cobb-Douglas permite estimar las

combinaciones óptimas de insumos que maximizan la producción o productividad, por

acotamiento del diseño experimental y superficie de respuesta del proceso de fermentación.

2. Materiales y métodos

Esta investigación es de enfoque cuantitativa y de tipo aplicada, consistió en el remodelado de un

diseño experimental para determinar la superficie de respuesta utilizando el método estadístico

matemático; según su metodología es correlacional porque compara el resultado obtenido con el

modelo de FDP con el modelo de segundo orden; es explicativa porque se pronosticaron los

resultados ante cambios en las cantidades de insumos, fundamentados en las tasas de cambio del

modelo CD. Los materiales utilizados fueron los datos de un DOE como fuente de información,

computadora con MS Office® y métodos estadísticos desarrollados en Excel®. No se utilizaron

sustancias, reactivos ni se hicieron diseños experimentales.

2.1 Materiales

Los datos de este estudio fueron tomados de Anusith et al., (2011), a los cuales se les aplicó

regresión estadística restringida en el software Excel® Solver® (2016) para obtener el modelo de

predicción de la función de producción con la forma funcional

󰇛󰇜    (Ec. 1)

Donde Y es la cantidad de producción obtenida (gL-1 de fenilalanina) con los insumos X1 (gL-1 de

glicerol crudo), X2 (gL-1 de sal de amonio), X3 (gL-1 de otras sales), X4 (gL-1 de vitaminas y elementos

traza) y X5 (horas de tiempo de incubación) utilizados en el diseño experimental (DE); donde A

es un factor de productividad total,  son las elasticidades de producción de cada variable con 0≤

 ≤1 y μ es el error aleatorio de la estimación. Una propiedad de las funciones de producción es que

la derivada siempre es positiva,



Y/



Xi >0 excepto cuando uno de los insumos es cero.

Los resultados obtenidos con el modelo CD se compararon con los resultados obtenidos por

Anusith et al., (2011) y se obtuvieron conclusiones.

2.2 Métodos

Regresión restringida.

Marco Antonio Paredes-Lizárraga TECNOCIENCIA CHIHUAHUA, Vol. XIV (2) e 511 (2020)

4

Para el ajuste de la función de producción de Cobb-Douglas, el modelo de regresión incluyó la

restricción de derivada positiva, como lo describen Sidiropoulus (1999) y Wang et al., (2004) que

presentaron un modelo de programación matemática de regresión por mínimos cuadrados, donde

la función a obtener por regresión fue restringida por el conjunto de la región factible donde está la

solución, tal que se cumplan simultáneamente las condiciones exigidas al modelo. El modelo de

regresión para modelar la función CD fue el siguiente:

35

1 2 4 2

21 2 3 4 5

aa

a a a

Min AX X X X X Y











(Ec. 2)

Sujeto a



Y/



Xi >0 para todo Xi >0,

Donde μ2 son los errores cuadráticos de la estimación, aleatorios, independientes y normalmente

distribuidos. Los modelos de optimización, al estar sujetos a restricciones, se programan en Excel®

Solver® y macros Solver® para así encontrar la combinación de parámetros  de óptima solución.

Regresión paso a paso (stepwise).

Para estimar los parámetros del modelo FDP por regresión estadística se utilizó el Software Excel®

Solver® (2016); con todos los datos del diseño experimental utilizado por Anusith et al., (2011),

eliminando un dato a la vez, el que condujo al valor más alto de correlación global (R2) y el menor

valor del cuadrado medio del error (MSE), como indican Montgomery et al., (2003):

Optimización restringida.

Una vez obtenido el modelo CD por regresión paso a paso se aplicó Excel Solver® para localizar la

combinación de insumos que dio la máxima producción, mediante el siguiente modelo de

optimización

35

1 2 4

1 2 3 4 5

aa

a a a

MaxY AX X X X X

(Ec. 3)

Sujeto a Xi min



Xi



Xi max para todo Xi ≥ 0

donde Xi min y Xi max son los valores frontera del DE.

También, una vez obtenidos los parámetros del modelo CD se diseña el modelo para estimar la

productividad, matemáticamente expresado en la Ec. (4).

/PT Y C

donde C es el costo de los insumos (Ec. 4)

Y que al sustituir términos en la Ec. (4) se obtuvo el modelo de optimización de la productividad

35

1 2 4

1 2 3 4 5

1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 5 5

cos

aa

a a a

AX X X X X

producción

MaxPT to PX P X P X P X PX P X



    

(Ec. 5)

Sujeto a Xi min



Xi



Xi max para todo Xi ≥ 0

donde Xi min y Xi max son los valores frontera del DE, Pi es el precio del insumo i con i=1,2, … 5

Marco Antonio Paredes-Lizárraga TECNOCIENCIA CHIHUAHUA, Vol. XIV (2) e 511 (2020)

5

Proceso metodológico

Excel® Solver® es un método robusto, más económico y amigable que los programas de cómputo

especializados (Ngo et al., 2013) y el análisis cuantitativo requiere menos entrenamiento formal en

regresión no lineal (Reed et al., 2012), es simple, robusto, rápido y confiable (Ibrahim y Ghani, 2015).

El proceso de regresión en Excel® Solver® se describe a continuación:

1. Obtener por regresión restringida paso a paso los parámetros  de la FDP.

a) Para los n datos del DE del artículo analizado, estimar la R2 y MSE correspondientes. Si R2

es aceptable para pronosticar: FIN DEL PROCESO DE REGRESIÓN, de otro modo

continuar.

b) Acotar superficie de respuesta. Eliminar uno, y solo uno, dato del DE tal que maximiza el

valor de R2. Si R2 es aceptable para pronosticar: FIN DEL PROCESO DE REGRESIÓN, de

otro modo repetir este paso hasta terminar. El modelo así obtenido es el mejor, porque

tiene el menor MSE y mayor R2 (Montgomery y Runger, 2003)

2. Obtener por optimización restringida los valores de Xi que hacen máxima la producción,

manteniendo cada variable Xi min y Xi max dentro de los valores frontera del DE. Aplicar

análisis de eficiencia por derivadas.

3. Obtener por optimización restringida los valores de Xi que hacen máxima la productividad,

manteniendo cada variable Xi min y Xi max dentro de los valores frontera del DE. Aplicar

análisis de eficiencia por derivadas.

3. Resultados y discusión

En este apartado se aplica el modelo de función de producción de Cobb-Douglas a los datos de la

publicación científica de Anusith et al., (2011) denominada “Optimized Production of L-

phenylalanine by Fermentation Using Crude Glycerol” en la cual utiliza glicerol crudo como fuente

de carbono para producir fenilalanina por fermentación con Escherichia coli BL21 (DE3). Aplica un

diseño central compuesto Plackett-Burman de tres niveles y cinco factores con superficie de

respuesta por polinomio de segundo orden con el cual deduce una producción óptima de 1.03 gL-1

de fenilalanina en 30.29 h.

Anusith et al., (2011) reportan que los niveles óptimos para los cinco factores fueron estimados

utilizando el software Statistica: 25.27 gL-1 de glicerol crudo, 11.53 gL-1 de sulfato de amonio, 2.225

gL-1 mezcla de sales, 1.511 gL-1 de vitaminas y 30.29 h de tiempo de incubación. El modelo de

segundo orden correlaciona con R2=0.943

3.1 Regresión restringida y regresión paso a paso

En la tabla 1 se presenta el diseño con los 30 valores de las variables independientes y la producción

de fenilalanina, utilizado en la publicación original. Para obtener la forma funcional de la Ec (1) se

programa el proceso de regresión estadística en Solver® con el modelo de la Ec. (2) aplicado a los

datos de la tabla 1; las restricciones del modelo indican que los valores permitidos para los

exponentes son 0 ˂ ˂ 1. En la tabla 2 se reportan los resultados del proceso de regresión paso a

paso que mejora gradualmente R² a medida que se eliminan del proceso de regresión los datos

individuales, uno a uno, que teóricamente se apartan del modelo de CD y tienen un alto valor

relativo de error cuadrático medio (MSE). La columna dos reporta los resultados de la primera

ronda de regresión, con los 30 datos originales de la Tabla 1 con los siguientes resultados notorios

Marco Antonio Paredes-Lizárraga TECNOCIENCIA CHIHUAHUA, Vol. XIV (2) e 511 (2020)

6

para el modelo de la Ec. (1): =-0.001, =-0.001, =-0.001 negativos (prohibido en el modelo CD) y

R² =0.09.

Tabla 1. Diseño central compuesto para cinco variables independientes utilizado en el artículo original*

Table 1. Central composite design for five independent variables used in the original article

X₁

X₂

X₃

X₄

X₅

No.Exp

Glicerol (gL-1)

(NH₄)₂SO₄

(gL-1)

Sales

(gL-1)

Vitaminas y

elementos

traza (gL-1)

Tiempo de

incubación

(h)

Fenilalanina

(gL-1)

1

1.778

0.331

36

0.8

2

1

1.778

2.318

12

0.8

3

1

12.47

0.331

12

0.61

4

1

12.47

2.318

36

0.58

5

1

50

1.778

0.331

12

0.71

6

1

50

1.778

2.318

36

0.86

7

1

50

12.47

0.331

36

0.63

8

1

50

12.47

2.318

12

0.68

9

50

1

1.778

0.331

12

0.78

10

50

1

1.778

2.318

36

0.94

11

50

1

12.47

0.331

36

0.76

12

50

1

12.47

2.318

12

0.64

13

50

1.778

0.331

36

0.52

14

50

1.778

2.318

12

0.45

15

50

12.47

0.331

12

0.4

16

50

12.47

2.318

36

0.49

17

25.5

7.125

1.325

24

0.94

18

25.5

7.125

1.325

24

0.99

19

1

25.5

7.125

1.325

24

0.8

20

50

25.5

7.125

1.325

24

0.8

21

25.5

1

7.125

1.325

24

0.61

22

25.5

50

7.125

1.325

24

0.58

23

25.5

1.778

1.325

24

0.71

24

25.5

12.47

1.325

24

0.86

25

25.5

7.125

0.331

24

0.63

26

25.5

7.125

2.318

24

0.68

27

25.5

7.125

1.325

12

0.78

28

25.5

7.125

1.325

36

0.94

29

25.5

7.125

1.325

24

0.76

30

25.5

7.125

1.325

24

0.64

Fuente: *Anusith, et al; (2011). Optimized Production of L-phenylalanine by Fermentation Using Crude

Glycerol.

En procesos de ingeniería, cuando  adquiere valores negativos indica que si el insumo Xi aumenta

el producto Y disminuye; para eliminar este inconveniente (en toda FDP siempre que Xi aumenta

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7

debe aumentar Y) se transforma la variable Xi en otra variable Z tal que Zi = bi – Xi genera un

exponente  >0, como lo requiere la teoría económica de funciones de producción. El segundo

proceso de regresión se resume en la columna tres de la tabla 2, con el cual se obtienen los valores

de los parámetros bi que logran que los exponentes  sean positivos para los 30 datos con mejora

de R² del valor previo 0.09 al valor 0.42.

Tabla 2. Proceso de mejora de R2 y MSE por regresión estadística paso a paso (stepwise)

Table 2. Process of improvement of R2 and MSE by stepwise statistical regression (stepwise)

Pará

metro

R 1

R 2

R 6

R 10

R 12

R 13

R 15

R 17

R 18

R 19

n

30

26

22

20

19

17

15

14

13

SST

0.66

0.62

0.49

0.43

0.42

0.4

0.39

0.32

SSE

0.6

0.38

0.21

0.07

0.03

0.02

0.01

0

gl

24

21

17

14

12

11

9

7

6

5

MSE

0.02

0.01

0

R²

0.09

0.42

0.66

0.87

0.923

0.941

0.962

0.98

0.99

DT

21, 4, 5,

26

30, 9,

16, 18

17, 27

20

22, 19

12,29

23

14

A

0.51

0.4

0.25

0.14

0.05

0.044

0.05

0.06



-0.01

0.02

0.07

0.11

0.15

0.168

0.18

0.16

0.14



-0.01

0.06

0.09

0.1

0.25

0.256

0.24

0.26

0.24



-0.01

0.06

0.02

0.04

0.05

0.044

0.05

0.07

0.06

0.05



0.05

0.03

0.1

0.16

0.17

0.167

0.17

0.19

0.18



0.11

0.1

0.19

0.31

0.35

0.349

0.36

0.34

0.31

b1

0

51

58

63.4

73

72.95

73

b2

0

51

52.6

71.9

71.94

72

b3

0

13.5

0

b4

0

b5

0

Rend

0.27

0.46

0.72

0.97

0.99

1

1.01

1

0.93

Nota. R= regresión; DT=dato eliminado; Rend= rendimientos; Si hay un valor  (exponente) negativo se debe

hacer transformación de variable (Zi = bi – Xi ) para que >0. Fuente: cálculos del Autor.

Note. R = regression; DT = data removed; Rend = yields; If there is a negative  (exponent) value, we must

do a variable transformation (Zi = bi – Xi ) so that >0. Source: Author's calculations.

En la columna cuatro de la Tabla 2 se reporta la regresión sexta del proceso de eliminación selectiva

de un dato, aplicando el criterio de que “el estadístico R2 deberá utilizarse con precaución, ya que

siempre es posible hacer que R2 sea unitario, simplemente agregando suficientes términos al

modelo, también R2 siempre aumentará si se agrega una variable al modelo, pero esto no

necesariamente significa que el nuevo modelo sea superior al anterior. A menos que la suma de

cuadrados del error (SSE) del nuevo modelo sea reducida por una cantidad igual al cuadrado

medio del error (MSE) original, el nuevo modelo tendrá un cuadrado medio de error mayor que el

anterior, debido a la pérdida de un grado de libertad. Entonces, en realidad el nuevo modelo será

peor que el anterior.” (Montgomery y Runger, 2003: 398). Con esta sexta regresión para 26 datos,

después de eliminar secuencialmente los datos 21, 4, 5 y 26 respectivamente con lo cual se logra

mejorar R2 a 0.66. En la columna cinco de la tabla 2 se indican los parámetros de regresión para 22

Marco Antonio Paredes-Lizárraga TECNOCIENCIA CHIHUAHUA, Vol. XIV (2) e 511 (2020)

8

datos, después de eliminar secuencialmente los datos 30, 9, 16 y 18 respectivamente, logrando

mejorar R2 a 0.87. En la columna 6, con la doceava regresión, se reporta R2=0.923 después de

eliminar los datos 17 y 27.

En la Tabla 2 y columna siete se resume la regresión treceava, utilizando 19 datos para regresión, el

modelo CD tiene correlación global R2=0.941 y MSE=0.0022 equivalente al polinomio de segundo

orden aplicado por Anusith et al., (2011) con R2=0.943 y MSE=0.0041 utilizando los 30 datos del

diseño experimental. Para hacer inferencias se utilizan los parámetros de la columna 7 como base

de comparación entre los modelos de segundo orden y el modelo de función de producción.

La Tabla 3 muestra el conjunto de los 19 datos seleccionados para la regresión, correspondientes a

la columna 7 de la tabla 2, que cumplen con una función de producción pura, como la de la Ec. (1)

con R² =0.941 y MSE=0.0022 y en la tabla 4 se reportan los parámetros del modelo de regresión que

satisface la forma funcional con cambio de variables

35

1 2 4

1 1 2 2 3 4 5

( ) ( ) aa

a a a

Y A b X b X X X X  

(Ec. 6)

Tabla 3. Datos útiles para la regresión estadística

Table 3. Useful data for statistical regression

X₁

X₂

X₃

X₄

X₅

Y

No. Exp

Glicerol

crudo

(g/L)

(NH₄)₂SO₄

(g/L)

Sales

(g/L)

Vitaminas

y

elementos

traza (g/L)

Tiempo de

incubación

(h)

fenilalanina

(g/L)

Valor

Estimado

(Y*)

1

1.778

0.331

36

0.8

0.813

2

1

1.778

2.318

12

0.8

0.766

3

1

12.467

0.331

12

0.61

0.603

4

nc

5

nc

6

1

50

1.778

2.318

36

0.86

0.833

7

1

50

12.467

0.331

36

0.63

0.656

8

1

50

12.467

2.318

12

0.68

0.619

9

nc

10

50

1

1.778

2.318

36

0.94

0.929

11

50

1

12.467

0.331

36

0.76

0.731

12

50

1

12.467

2.318

12

0.64

0.689

13

50

1.778

0.331

36

0.52

0.497

14

50

1.778

2.318

12

0.45

0.468

15

50

12.467

0.331

12

0.4

0.369

16

nc

17

nc

18

nc

19

1

25.5

7.125

1.325

24

0.8

0.849

20

nc

21

nc

22

25.5

50

7.125

1.325

24

0.58

0.653

23

25.5

1.778

1.325

24

0.71

0.744

24

25.5

12.467

1.325

24

0.86

0.811

25

25.5

7.125

0.331

24

0.63

0.627

26

nc

27

nc

28

25.5

7.125

1.325

36

0.94

0.912

29

25.5

7.125

1.325

24

0.76

0.791

30

nc

Fuente: Cálculos del Autor; nc = no considerado

Source: Author's calculations; nc= not considered

Marco Antonio Paredes-Lizárraga TECNOCIENCIA CHIHUAHUA, Vol. XIV (2) e 511 (2020)

9

El proceso de fermentación requiere de condiciones de operación específicas tal que excedentes de

insumos, como la temperatura, estresan al microorganismo bioactivo y se obtiene menos

producción. Expresados en una variable de control, el modelo gráfico del proceso de fermentación

se asemeja a la gráfica de la Figura 1a), que representa al diseño experimental completo de la tabla

1) y correlaciona con el modelo de segundo orden utilizado por Anusith et al., (2011) representado

por la Figura 1b). Por otra parte, la FDP correspondiente a la Ec. (1) cuyo modelo gráfico en una

variable de control se asemeja a la gráfica de la Figura 2a) no correlaciona con las gráficas de la

Figura 1.

Figura 1. Modelo de fermentación y modelo de segundo orden.

Figure 1. Fermentation model and second order model.

Para hacer compatible el modelo de FDP de la Figura 2a) con el modelo de fermentación

representado por la Figura 1a) se requiere acotar el diseño experimental, como se indica en la

gráfica de la Figura 2b), que representa al diseño experimental acotado de la Tabla 3.

Figura 2. Modelo de función de producción y modelo de fermentación acotado

Figure 2. Production function model and bounded fermentation model

Marco Antonio Paredes-Lizárraga TECNOCIENCIA CHIHUAHUA, Vol. XIV (2) e 511 (2020)

10

El acotamiento de modelos de regresión se ha aplicado para obtener modelos predictivos

relacionados con pronósticos hidrológicos (Ssegane et al., 2012), contrastes salariales entre Estados

Unidos, Europa y Asia (Sperlich et al., 1999); multimétodos para determinación de la procedencia

del mármol (Attanasio et al., 2007) y cálculo de curvas de aclaramiento plasmático (Nimmon et al.,

1975).

La eliminación de los datos discrepantes para el modelo CD que permiten mejorar R2 al reducir la

superficie de respuesta del experimento ha permitido así llevar la aplicación de un modelo de

economía a un proceso de ingeniería, con resultados comparables.

El acotamiento de la superficie de respuesta plantea la posibilidad de recuperar un diseño

experimental de baja correlación polinomial, analizándolo desde la perspectiva del modelo de FDP,

eliminando los datos discrepantes por alto valor de MSE. Adicionalmente, esta investigación abre

puertas para la búsqueda de otros modelos de regresión que puedan replicar la superficie de

respuesta de diversos diseños experimentales.

Tabla 4. Coeficientes del modelo de regresión* para los datos de la tabla 3.

Table 4. Coefficients of the regression model * for the data in table 3.

Coeficientes

Coeficientes ajustados  (10-3)

Coeficientes

Coeficientes ajustados

A

44.450



168.488

b1

73.016



256.171

b2

71.978



44.392

b3

0



167.138

b4

0



349.813

b5

0

*Coeficientes estimados del modelo ajustado con el modelo de la función de productividad (cálculos del

Autor)

* Estimated coefficients of the model adjusted with the model of the productivity function (Author's

calculations)

3.2 Optimización restringida

Conocidos los parámetros de la FDP, se procede a optimizar los resultados del proceso de

producción de fenilalanina. El proceso de optimización busca el máximo valor posible de

producción o productividad respetando el rango de variación permitido a cada variable

independiente Xi, como se indican en la tabla 3, los cuales son: (1≤ X1≤50), (1≤ X2≤50), (1.778≤

X3≤12.467), (0.331≤ X4≤2.318) y (12≤ X5≤36) a fin de no extrapolar resultados y mantener el proceso

dentro de las fronteras del experimento. Solver realiza búsquedas metódicas de valores ideales para

cada Xi tal que se obtiene el mayor valor de la variable dependiente.

En la tabla 5 se reportan los resultados del proceso de optimización restringida de la producción y

la productividad del proceso. En el renglón 1 de la tabla 5 se indican los precios en dólares para

cada insumo, por consultas en páginas públicas de internet, como 0.7$USkg-1 para glicerol crudo

(consultado en quiminet.com); 0.33$USkg-1 para (NH₄)₂SO₄ (consultado en mercosur.com);

0.2$USkg-1 para Sales (minerales para hidroponia, consultado en mercadlibre.com); 250$USkg-1 para

Vitaminas y trazas de elementos (mercadolibre.com); y un valor simbólico (a falta de estimador) de

0.0001$USh-1 para tiempo de incubación. Con estos precios se deduce el costo de operación del

proceso experimental, indicado en la penúltima columna de la Tabla 5, y se calcula la

productividad reportada en la última columna de la Tabla 5. En los renglones 2 y 3 de la tabla 5 se

Marco Antonio Paredes-Lizárraga TECNOCIENCIA CHIHUAHUA, Vol. XIV (2) e 511 (2020)

11

indican los valores mínimos y máximos permitidos a cada variable independiente, extraídos del

diseño experimental.

Tabla 5. Comparación de resultados de optimización, valorada en estimaciones de producción (Y), costos

(C) y productividad (PT) manteniendo las variables de control dentro del rango del diseño experimental.

Table 5. Comparison of optimization results, valued in estimated values, (Y), costs (C) and productivity

(PT), keeping the control variables within the range of the experimental design.

X1

X2

X3

X4

X5

Indicadores de

óptimización

Glicerol

crudo

(gL-1)

(NH₄)₂

SO₄

(gL-1 )

Sales (gL-

1)

Vitaminas y

elementos

traza (gL-1)

Tiempo

de

incubació

n (h)

Y

COSTO C

PT=Y/C

US/unit

0.0007

0.0003

.0002

0.25

0.0001

Xi min

1

1.778

0.331

12

Xi max

50

12.46

2.318

36

Óptimo

25.27

11.53

2.225

1.511

30.29

0.892

0.4027

2.2164

Max Y

1

12.46

2.318

36

1.227

0.58662

2.0929

Max PT

1

12.46

0.331

36

0.886

0.08987

9.8674

aY, COSTO C y PT=Y/C , valores estimados por en modelo ajustado (cálculos del Autor )

aY, COSTO C y PT=Y/C, values estimated by the adjusted model (Author's calculations)

3.3 Optimización de la producción

Se aplica el modelo de la Ec. (3) permitiendo variar las Xi dentro del rango especificado, tal que

obtenemos el mayor valor de producción. En el renglón 4 de la Tabla 5 se indican los valores

óptimos reportados por Anusith et al., (2011) (renglón “Óptimo”) y que valorado con la Ec. (1) da

una producción Y=0.892 gL-1 de fenilalanina, a un costo de $0.4027g-1 y productividad de 2.2164g$-1.

En el renglón 5 de la tabla 5 se indican los valores óptimos para la máxima producción (max Y) con

el modelo de FDP de la EC. (1) con una producción Y=1.227 gL-1 de fenilalanina, a un costo de

$0.5866g-1 y productividad de 2.0929g$-1.

Expresando en un arreglo vectorial las cantidades de cada insumo aplicados al diseño

experimental, tenemos que el vector óptimo que maximiza la producción es Max Y de coordenadas

(1, 1, 12.46, 2.318, 36) respectivamente con Y=1.227 gL-1 de fenilalanina y costo $0.5866g-1.

Una empresa con enfoque de producción operaría con el vector del renglón 5 (max Y, óptimo físico)

de la Tabla 5 a pesar de incurrir en mayor costo unitario de producción. Estos resultados

concuerdan con las observaciones reportadas por Ginésy et al., (2018) de que aumentar el sulfato de

amonio inicial de 10 a 20 g L-1 resultó en una disminución de casi seis veces en la producción de

fenilalanina y productividad; y Mathee et al., (2009) que indican que la alta concentración de glicerol

redujo la producción de fenilalanina y que un aumento de sales con la concentración de las

vitaminas hasta el punto óptimo aumentó la producción de fenilalanina.

3.4 Optimización de la productividad

Las cantidades físicas utilizadas en el experimento se convierten en cantidades económicas,

determinando el costo de cada corrida y así poder calcular y comparar la productividad de

Marco Antonio Paredes-Lizárraga TECNOCIENCIA CHIHUAHUA, Vol. XIV (2) e 511 (2020)

12

diferentes combinaciones alternativas de insumos, obteniendo así la eficiencia distributiva indicada

por OECD (2001).

Para estimar la productividad se aplica el modelo de la Ec. (5) permitiendo variar las Xi dentro del

rango especificado, tal que obtenemos el mayor valor de productividad.

En el renglón 6 de la tabla 5 se indican los valores óptimos para la máxima productividad (max PT)

con el modelo de la EC. (5) con una producción Y=0.8868 gL-1 de fenilalanina, a un costo de

$0.0899g-1 y productividad de 9.8674g$-1.

Una empresa con enfoque de productividad operaría con el vector del renglón 8 (max PT, óptimo

económico) de la Tabla 5 logrando menor costo unitario de producción. El vector óptimo que

maximiza la productividad es Max PT de coordenadas (1, 1, 12.46, 0.331, 36) respectivamente con

Y=0.886 y costo $0.0899

Con la estimación de estas combinaciones óptimas para la producción y productividad se

comprueba la hipótesis planteada y el modelo de FDP de Cobb-Douglas se pudo aplicar al proceso

de fermentación, una vez acotado el DE y la superficie de respuesta.

3.5 Comparación de modelos

El modelo de segundo orden reportado por Anusith et al., (2011) requiere de 21 parámetros,

correlaciona con R2=0.943 y tiene un MSE=0.004 (porque SST=0.655) y tiene 9 grados de libertad;

mientras que el modelo CD aplicado en esta investigación requiere de 8 parámetros; si se aplican

los 19 datos seleccionados del diseño experimental el modelo de función de producción pura

correlaciona con R2=0.941 y MSE=0.0022 y tiene 11 grados de libertad. En este punto, el modelo CD

es estadísticamente mejor que el modelo de segundo orden porque tiene mejor MSE según los

criterios especificados por Montgomery et al., (2003).

3.6 Eficiencia técnica del proceso

Para optimizar la producción se deriva la Ec. (1) respecto de cada variable y se igualan todas las

derivadas, según se indica para Xi con i=1, 2, … n

35

1 2 4

1 2 3 4 5

/ ( ) / /

aa

a a a

i i i i i

Y X a AX X X X X X aY X   

(Ec. 7)

donde Y/ Xi es la productividad parcial de Xi.

La Ec. (1) derivada para cada una de las cuatro variables independientes, como lo indica la Ec. (7),

nos da un sistema de cuatro ecuaciones, que se listan a continuación

1 1 1

2 2 2

3 3 3

4 4 4

//

Y X aY X

Y X a Y X

  

(Ec. 8)

Resolvemos el sistema de Ecs. (8), dos a la vez, igualando todas las derivadas (se ejemplifica para

las primeras dos) y se obtiene

Marco Antonio Paredes-Lizárraga TECNOCIENCIA CHIHUAHUA, Vol. XIV (2) e 511 (2020)

13

12

YY

aa

XX



que se transforma en

11

22

aX



(Ec. 9)

La Ec. (9) indica que los exponentes de la FDP están en proporción a las cantidades de recursos

utilizados y que a mayor cantidad de insumo Xi mayor valor relativo del exponente  asociado y

mayor la contribución al producto obtenido. En el óptimo todas las derivadas parciales son iguales

(Mcneill, 1977; Kurose y Simha, 1989; Debertin, 2012). Lograr y mantener la proporción de cada Xi

con su exponente  (y por tanto todas las derivadas iguales entre sí) asegurará el logro de la

eficiencia técnica del proceso. En la Tabla 6 se presentan los valores de las derivadas para los

vectores “Óptimo”, “Max Y” y “Max ef Y” en la que se observa que la derivada de la variable X4 es

notoriamente elevada en comparación con las otras derivadas, lo cual indica que aumentando X4 a

valores más allá de la frontera del diseño experimental hay una mejora de producción, como se

sugiere en la última columna con mejor valor Y si aplicamos X4=4.92, generando producción

Y=1.392 gL-1. La búsqueda de eficiencia técnica induce a considerar que un nuevo diseño

experimental debería contemplar esta nueva frontera en su planeación.

Tabla 6. Valores estimados de las derivadas parciales y su relación con la producción.

Table 6. Estimated values of the partial derivatives and their relationship with production.

Y=0.9291

Max Y=1.2277

Max ef Y=1.3926

Xi

∂Y/∂Xi

Xi

∂Y/∂Xi

Xi

∂Y/∂Xi

50

0.00674

1

0.00287

1

0.00326

1

0.00334

1

0.00443

1

0.00502

1.778

0.0226

12.467

0.00429

12.467

0.00487

2.318

0.06582

←

2.318

0.08698

←

4.9272

0.04685

36

0.00899

36

0.01188

36

0.01347

Fuente: cálculos del Autor

Source: Author's calculations

3.7 Eficiencia de escala (Rendimientos de escala)

La función CD tiene la propiedad de rendimientos de escala siguiente: si aumentamos el vector de

insumos en cierta proporción , tal que >1, entonces

35

1 2 4

1 2 3 4 5

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

aa

a a a

A X X X X X

    

1 2 n

Yλ( , X , .. . λ Xλ=X )

(Ec. 10)

5

1 2 3 4 3 5

1 2 4 5

1 2 3 4

a a a a a a

a a a a

AX X X X X



    



1 2 n

Y( , X , = λX λ λ ... X )

(Ec. 11)

Si    <1 los rendimientos de escala son decrecientes, un aumento en el vector de

insumos (los valores de las variables) disminuye la eficiencia y productividad del proceso de

producción analizado. Por el contrario, si     >1 los rendimientos son crecientes

y un aumento en el vector de insumos aumenta la eficiencia y productividad. Si   

 =1 los rendimientos son constantes y aumentos proporcionales en insumos producen aumentos

proporcionales en productos.

Dollery et al., (2007) documentan que, en general, la teoría económica sostiene que a medida que la

escala física de producción aumenta, el proceso de producción exhibirá primero rendimientos

Marco Antonio Paredes-Lizárraga TECNOCIENCIA CHIHUAHUA, Vol. XIV (2) e 511 (2020)

14

crecientes a escala, seguida de rendimientos constantes a escala, y finalmente rendimientos

decrecientes a escala.

De conformidad con las Ecs. (10) y (11), la teoría económica establece que cuando la escala o tamaño

de la empresa (en este caso infraestructura física del experimento) es óptimo(a) los rendimientos

son uno (suma de exponentes =1). Si no es el caso, se deben hacer ajustes para lograr que el modelo

CD llegue a suma de exponentes igual a uno. Esta condición asegura el logro de la eficiencia de

escala, como lo describe Dollery et al., (2007).

Los exponentes de las variables suman 0.986, el experimento está en rendimientos decrecientes, por

lo que la teoría indica que disminuyendo proporcionalmente el vector de insumos (las variables)

aumenta la eficiencia del proceso de producción de fenilalanina por fermentación.

En algunos de los casos, las inferencias de aumentar o disminuir el valor de la(s) variable(s) Xi

induce a salir del rango de diseño del experimento; en estos casos es necesario valorar si el proceso

puede llevarse a esos valores sugeridos considerando, en este caso particular, si el microorganismo

bioactivo soportará los nuevos parámetros de control. Existe un proceso de aproximación sucesiva

hacia las nuevas y desconocidas condiciones (llamado operación evolutiva) que incorporan la

optimalidad de escala y optimalidad técnica en nuevos DE a partir del anterior DE.

La búsqueda de eficiencia de escala induce a considerar que en un nuevo diseño experimental

debería contemplar este criterio de escala para definir la nueva frontera del siguiente experimento

que progresivamente se aproxime a suma de exponentes igual a uno, a fin de optimizar la

productividad.

3.8 Eficiencia Económica

La Organización para la Cooperación y Desarrollo Económico (OCDE, 2001) describe que la

eficiencia económica tiene dos componentes distintos, la eficiencia "distributiva" y la eficiencia

"técnica". La eficiencia técnica es la capacidad de una empresa para obtener la máxima salida de un

determinado conjunto de insumos ("eficiencia técnica de salida") o el uso de insumos mínimos para

un determinado conjunto de productos ("eficiencia de los insumos técnicos"). La eficiencia

distributiva se refiere a la capacidad de una empresa para utilizar insumos en proporciones

óptimas, dado un conjunto de precios de los insumos, o para producir salidas en proporciones

óptimas, dado un conjunto de precios de los productos. Rendimientos constantes a escala se

producen cuando aumentos proporcionales en todas las entradas resultan en el mismo aumento

proporcional en las salidas. Conocidos los precios de los insumos se puede comparar la

productividad total (PT) de cada modelo y de cada combinación de insumos. En la realidad, los

precios y cada cambio de precios cambian la combinación óptima en la que debe operar la empresa.

Como indica Prokopenko (1989), la productividad de la empresa no puede aumentar

indefinidamente, cada escala de producción (tamaño de la empresa) tiene asociada una capacidad

óptima de producción a la cual se maximiza la productividad, de acuerdo con la ley de los

rendimientos decrecientes.

En la Tabla 7 se presentan los valores de las derivadas, respecto de Xi Pi, para los vectores “Max PT”

y “Max ef PT” en la que se observa que la derivada de la variable X5 es notoriamente elevada en

comparación con las otras derivadas, lo cual indica que aumentando X5 hay una mejora de

productividad a valores más allá de la frontera del diseño experimental, como se sugiere en la parte

derecha de la tabla. El aumento de X5 de 36 a 43.2 horas de fermentación mejoran la productividad

de 9.86 a 10.43.

La búsqueda de eficiencia económica induce a considerar que en un nuevo diseño experimental

debería contemplarse esta nueva frontera en su planeación. En condiciones de igualdad, una

Marco Antonio Paredes-Lizárraga TECNOCIENCIA CHIHUAHUA, Vol. XIV (2) e 511 (2020)

15

empresa con información analítica del óptimo físico y óptimo económico preferirá operar en el

óptimo económico para maximizar sus beneficios, al disminuir su costo de producción, como lo

refieren Ho et al., (2017) y Gilpin y Rusik (2001).

Tabla 7. Valores estimados de las derivadas parciales y su relación con la productividad.

Table 7. Estimated values of the partial derivatives and their relationship with productivity.

Max Y=0.8868

Max ef Y=0.9452

PT=9.8674

PT=10.4336

Xi

costo XiPi

∂Y/∂ XiPi

Xi

costo XiPi

∂Y/∂ XiPi

1

0.0007

2.96226

1

0.0007

3.15735

1

0.00033

9.69399

1

0.00033

10.3324

12.467

0.0025

15.494

12.467

0.00249

16.5143

0.331

0.08275

1.6002

0.331

0.08275

1.70558

36

0.0036

85.7865

←

43.2

0.00432

76.2535

Fuente: cálculos del Autor

Source: Author's calculations

4. Conclusiones

El acotamiento de la superficie de respuesta del diseño experimental permite llevar la aplicación de

un modelo de economía a un proceso de ingeniería, con resultados comparables.

El acotamiento de la superficie de respuesta plantea la posibilidad de recuperar un diseño

experimental de baja correlación polinomial, analizándolo desde la perspectiva del modelo de FDP,

eliminando los datos discrepantes por alto valor de MSE. Adicionalmente, esta investigación abre

puertas para la búsqueda de otros modelos de regresión que puedan replicar la superficie de

respuesta de diversos diseños experimentales.

La mejor producción está en el vector óptimo físico de coordenadas (1, 1, 12.46, 2.318, 36) con

producción de 1.227 gL-1 de fenilalanina y costo total de $0.5866 y productividad de 2.093g$-1.

La mejor productividad está en el vector óptimo económico de coordenadas (1, 1, 12.46, 0.331, 36)

con producción de 0.886 gL-1 de fenilalanina y costo total de $0.0898 y productividad de 9.8674g$-1.

Con el proceso de optimización descrito, una empresa con enfoque de producción operaría en el

vector óptimo físico descrito, a pesar de incurrir en mayor costo unitario de producción mientras

que una empresa con enfoque de productividad operaría en el vector óptimo económico descrito,

logrando menor costo unitario de producción.

Para mejorar el rendimiento físico y económico, el análisis de eficiencias por derivadas induce a

explorar, en el próximo diseño experimental, la frontera de las variables X4 (vitaminas y trazas)

hacia 4.92 y la variable X5 (tiempo de incubación (h)) hacia 43.2. La búsqueda de eficiencias (técnica

o económica) induce a considerar que en un nuevo diseño experimental debería contemplar esta

nueva frontera en la planeación del nuevo diseño experimental.

La búsqueda de eficiencia de escala induce a considerar que en un nuevo diseño experimental

debería contemplarse la reducción proporcional del vector de insumos para que progresivamente el

proceso se aproxime a suma de exponentes igual a uno, a fin de optimizar la productividad.

Marco Antonio Paredes-Lizárraga                                    TECNOCIENCIA CHIHUAHUA, Vol. XIV (2) e 511 (2020) 
 
 
16 
 
5.  Referencias 
Anusith,  T.,  Kla,  T.,  Methee,  K.,  Kanoktip,  P.  y  Penjit  S.  (2011).    Optimized  Production  of  L-
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